1 . 已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.

2 . 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.

3 . 已知，，记 ，其中表示这个数中最大的数．
（1）求的值；
（2）证明是等差数列.

4 . 如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d
（1）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列具有“性质P”，求证；且；
（3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.

5 . 编辑一个运算程序：，，．
(1)设，求；
(2)由（1）猜想的通项公式；
(3)用数学归纳法证明你的猜想．

6 . 已知数列的通项公式为.
(1)求证：数列是递增数列；
(2)若存在一个正实数M使得对一切都成立，则称数列为有界数列．试判断此数列是否为有界数列，并说明理由．

7 . 如果数列同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数，
对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列”.
（1）若数列满足证明数列为“类等比数列”，并求出相应的的值；
（2）若数列为“类等比数列”，且满足问是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求出，若不存在，请举出反例.