1 . “角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2；如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1.我们记一个正整数
经过
次角股运算后首次得到1（若
经过有限次角股运算均无法得到1，则记
，以下说法正确的是（ ）
经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记，以下说法正确的是（ ）A． ，则所有可能的取值集合为 |
| B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值 |
C．对任意正整数，都有 |
D． 是真命题， 是假命题 |
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2 . 若有穷自然数数列
：
满足如下两个性质，则称为
数列：
①
，其中，
表示
，这
个数中最大的数；
②
，其中，
表示，这个数中最小的数.
(1)判断：2，4，6，7，10是否为
数列，说明理由；
(2)若：
是
数列，且
，
，
成等比数列，求
；
(3)证明：对任意数列：，存在实数
，使得
.（
表示不超过
的最大整数）
：满足如下两个性质，则称为数列：①
，其中，表示，这个数中最大的数；②
，其中，表示，这个数中最小的数.(1)判断
：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；(2)若
：是数列，且，，成等比数列，求；(3)证明：对任意
数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数）
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3 . 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系
，且，为给定的常数（有时也可以是
，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：
，若
，
是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式
，其中和
是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出.
(1)若数列
满足：
，
，
，求数列的通项公式
；
(2)若
，试求
的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；
(3)若定义域和值域均为
的函数
满足：
，求的解析式
，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出.(1)若数列
满足：，，，求数列的通项公式；(2)若
，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；(3)若定义域和值域均为
的函数满足：，求的解析式
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4 . 已知数列 
， 数列 
， 其中 
， 且 
， 
． 记 
的前 项和分别为 
， 规定 
．记 
，且
，
， 且 
(1)若
，
，写出 
；
(2)若
，写出所有满足条件的数列 
， 并说明理由；
(3)若
， 且 
． 证明： 
， 使得 
．
， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且 (1)若
，，写出 ；(2)若
，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；(3)若
， 且 ． 证明： ， 使得 ．
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解题方法
5 . 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：
，
，
．
(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为
，选择B套餐的概率为
，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为
，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列
．
①求数列
的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数
，使得当
时，
，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
| 日期t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 销售量y（千张） | 1.9 | 1.98 | 2.2 | 2.36 | 2.43 | 2.59 | 2.68 | 2.76 | 2.7 | 0.4 |
，，．(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为
，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求；(3)记（2）中所得概率
的值构成数列．①求数列
的最值；②数列收敛的定义：已知数列
，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得当时，，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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6 . 已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项
，使得
，则称数列具有性质
，记集合
数列具有性质
．
(1)若数列的通项公式为
写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：
；
(3)若满足
，证明：
．
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．(1)若数列
的通项公式为写出集合A与集合B；(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：；(3)若
满足，证明：．
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解题方法
7 . 对于无穷数列，定义：
，称数列
是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）| A．若数列单调递增，则数列单调递增 |
B．若数列是常数列， ，则数列是周期数列 |
C．若 ，则数列没有最小值 |
| D．若，则数列有最大值 |
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8 . 在数列中，若存在常数t，使得
恒成立，则称数列为“
数列”若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且
则
_____ （写出通项公式）
中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且则
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9 . 超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：
（，，…，
，
）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率
是超越数．回答下列问题：
已知函数
（
）只有一个正零点．
(1)求数列的通项公式；
(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若
，则
为有理数当且仅当
．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：已知函数
（）只有一个正零点．(1)求数列
的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若，则为有理数当且仅当．（ⅱ）数列
中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
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的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
”的充要条件是“
，求证:
.
