1 . 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

2 . 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点.
（1）证明：为定值.
（2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值.

3 . 设抛物线，点，，过点的直线与交于、两点.
（1）若（为坐标原点）的面积为4，求直线的方程；
（2）求证：轴平分.

4 . 已知双曲线C₁： (a>0)，抛物线C₂的顶点在原点O，C₂的焦点是C₁的左焦点F₁．
（1）求证：C₁，C₂总有两个不同的交点；
（2）问：是否存在过C₂的焦点F₁的弦AB，使 AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与S_AOB的最值，若不存在，说明理由．

5 . 已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（Ⅰ）分别求抛物线和椭圆的方程；
（Ⅱ）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．

6 . 过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于、两点．
（1）试证明、两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线、、的斜率之间的关系，并给出证明.