1 . 一般地，
个有序实数
，
，
，
组成的数组，称为维向量，记为
.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如
，则
；若存在不全为零的
个实数
，
，，
使得
，则向量组
，
，，
是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.
(1)判断向量组
，
，
是否线性相关？
(2)若
，
，
，当
且
时，证明：
.
个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.(1)判断向量组
，，是否线性相关？(2)若
，，，当且时，证明：.
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2023·全国·模拟预测
解题方法
2 . 围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有
个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为
，例如，第3行第2列的交叉点记为
．在所有的
中，不同数值的个数为（ ）
个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（ ）| A．17 | B．18 | C．19 | D．20 |
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解题方法
3 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形
的边长为4，圆
的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径
，点
在正六边形的边上运动，则
的最小值为____________
的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为
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22-23高一下·宁夏吴忠·期末
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解题方法
4 . 如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形
的边长为
，、
为正八边形内的点（含边界），
在
上的投影向量为
，则下列结论正确的是（ ）
的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A． | B． |
C． 的最大值为 | D． |
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2023-08-01更新
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592次组卷
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10卷引用：【一题多变】向量点积，投影降维
（已下线）【一题多变】向量点积，投影降维（已下线）FHsx1225yl157宁夏吴忠市2022-2023学年高一下学期期末联合调研考试数学试题（已下线）第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.2.4 向量的数量积10种常考题型归类（1）-高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)（已下线）高一下学期期中复习选择题压轴题十七大题型专练（1）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）福建省厦门第二中学2023-2024学年高一下学期第一阶段考试数学试卷（已下线）6.2.4 向量的数量积——课后作业（提升版）（已下线）模块一 专题4 平面向量的数量积 B提升卷（人教B版）（已下线）模块一 专题5 平面向量的数量积 B提升卷（北师大版高一期中）
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解题方法
5 . 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形
的边长为，点在四段圆弧上运动，则
的取值范围为（ ）
的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-03-26更新
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1610次组卷
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8卷引用：河南省新乡市2023届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
河南省新乡市2023届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题河南省新乡市2023届高三第二次模拟考试数学（文科）试题（已下线）专题19新文化试题（已下线）专题19新文化试题河北省石家庄市第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题（已下线）第三篇 以学科融合为新情景情境2 跨不同学科融合（已下线）广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中数学试题
22-23高一下·江苏常州·开学考试
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6 . 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在
中，若三个内角均小于
，则当点满足
时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知
为平面内任意一个向量，
和
是平面内两个互相垂直的向量，且
，则
的最小值是（ ）
中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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7 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足
，则
________________ ；若点P是线段
上的动点（包括端点），则
的最小值是________________ ．
（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则上的动点（包括端点），则的最小值是
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2022-12-19更新
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796次组卷
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7卷引用：天津市滨海新区2022届高三下学期高考模拟数学试题
天津市滨海新区2022届高三下学期高考模拟数学试题天津市实验中学滨海学校2022-2023学年高三上学期期末数学试题山东省新泰市第一中学2021-2022学年高一下学期第二次质量检测数学试题黑龙江哈尔滨市第一二二中学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）第09讲 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示（已下线）6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 (精讲）（2）【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.3.5 平面向量数量积的坐标表示——课后作业（巩固版）
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8 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在
的中点，则
___________ .
的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则
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2022-12-09更新
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1682次组卷
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9卷引用：青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题
青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题陕西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期11月联考文科数学试题陕西省商洛市2022-2023学年高三上学期12月联考理科数学试题（已下线）技巧03 数学文化与数学阅读解题策略（精讲精练）-2（已下线）思想02 运用数形结合的思想方法解题（精讲精练）-1（已下线）专题4 “素材创新”类型（已下线）第06讲 平面向量的数量积（二）河南省濮阳市第一高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题黑龙江省鸡西市密山市第四中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题
名校
解题方法
9 . 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，
是圆的一条直径，且
．
，
是圆上的任意两点，
，点在线段
上，则
的取值范围是（ ）
是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-11-13更新
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759次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期11月质量检测数学试题
湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期11月质量检测数学试题宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题9-3：极化恒等式在向量数量积中的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)
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10 . 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形的边长为，是正八边形所在平面内的一点，则
的最小值为___________ .
的边长为，是正八边形所在平面内的一点，则的最小值为
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2022-07-09更新
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357次组卷
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2卷引用：四川省隆昌市第一中学2022-2023学年高三上学期8月开学考试数学试题
