1 . 关于集合，下列说法正确的是（       ）

A．空集是任何集合的真子集

B．集合真子集的个数是，其中n是集合中元素的数量

C．无限集不可能真包含无限集

D．对于有序数对属于集合A，必有或

2 . 利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题
(1)求证：是无理数
(2)①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°

3 . 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________

4 . 已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为______.

5 . 三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题：
(1)已知非负实数x，y，满足．证明：．
(2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值．

6 . 已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（       ）

A．的值和的值均唯一确定

B．的值唯一确定，但的值可能不唯一

C．的值唯一确定，但的值可能不唯一

D．的值和的值均可能不唯一

7 . 如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________．

8 . 下列命题中，真命题的个数为（       ）
①若角的终边经过点，则；
②同时满足的角
③不存在角和使得等式成立；
④任意的角和都满足等式

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________.

10 . 已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D．

(1)当平分时，求的面积；
(2)当时，求的正弦值；
(3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.