名校
1 . 成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解
元一次方程组的算法,直到拥有超强算力计算机的今天,这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法,求解
元一次方程组大约需要对实系数进行
(
为给定常数)次计算.1949年,经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖),利用当时的计算机求解一个42元一次方程组,花了约56机时.事实上,他的原始模型包含500个未知数,受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简,根据未知数个数估计所需机时,结果最接近于( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-12-05更新
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304次组卷
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3卷引用:江西省宜丰中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
2 . 判断正误,正确的写“正确”,错误的写“错误”.
(1)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
(2)无论m为何值,
与
必相交.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
(4)点
和点
之间的距离为
.( )
(5)在两点间的距离公式中
与
,
与
的位置可以互换,不影响计算结果.( )
(1)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.
(2)无论m为何值,
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(3)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.
(4)点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f3acbcf5ca270d1b5edd8982bc8d590c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af13e3c26639ac539f13f559b74a0cce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9f2416d1f75a45a314331146550832e.png)
(5)在两点间的距离公式中
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aec19b68e3add9d5bfcc6269a1855b87.png)
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3 . 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
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4 . 思维辨析(对的写正确,错误的写错误)
(1)若点
在直线
上,则
.( )
(2)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
(3)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
(4)若直线
与直线
的交点为
,则
.( )
(1)若点
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(2)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.
(3)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.
(4)若直线
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21-22高二·全国·课后作业
5 . 两直线的位置关系
方程组 | 一组 | 无数组 | 无解 |
直线 | 一个 | 零个 | |
直线 | 重合 |
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2022-02-12更新
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880次组卷
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5卷引用:第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1&2.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离公式
(已下线)第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1&2.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离公式章节整体概况-直线与圆的方程(已下线)第2章 直线和圆的方程(基础、典型、新文化、压轴)分类专项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(人教A版2019选择性必修第一册)第二章 直线和圆的方程 讲核心01(已下线)第10讲 直线的交点坐标与距离公式(1)
21-22高二·全国·课后作业
6 . 两直线的交点坐标
几何元素及关系 | 代数表示 |
点A | |
直线l | |
点A在直线l上 | |
直线 | 方程组 |
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2022-02-12更新
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825次组卷
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4卷引用:第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1&2.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离公式
(已下线)第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1&2.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离公式章节整体概况-直线与圆的方程(已下线)第2章 直线和圆的方程(基础、典型、新文化、压轴)分类专项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(人教A版2019选择性必修第一册)第二章 直线和圆的方程 讲核心01
名校
解题方法
7 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将
化为分数是这样计算的:设
,则
,即
,解得
.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜
局指的是一方比另一方多胜
局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
局.设甲在净胜
局时,继续比赛甲获胜的概率为
,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为
,期望为
.
①求甲获胜的概率
;
②求
.
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这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68061f9674fb257c62da194bebd65289.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/59c709117ab1d3ef620883a732aed68b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f95e54a9b7c66c97dc6ee6161a25c0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56b678dec65a0ca8006cc6828d8cb501.png)
①求甲获胜的概率
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf9f50605db5d5f8f3a01ee8e474a112.png)
②求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7fc8a872d7b16187634e8db2571c8cbe.png)
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2024-06-09更新
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1293次组卷
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2卷引用:山东省泰安第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
8 . 为了不断提高教育教学能力,某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后,为了解学习情况,负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(满时长15小时),将其分成
六组,并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/2/c97d0a06-2400-4ba5-a11a-e9eec39f6a74.png?resizew=229)
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区教职工学习时间
近似服从正态分布
,其中
近似为样本的平均数,经计算知
.若该地区有5000名教职工,试估计该地区教职工中学习时间在
内的人数;
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在
内的教职工中随机抽取5人,并从中随机抽取3人作进一步分析,分别求这3人中学习时间在
与
内的教职工平均人数.(四舍五入取整数)
参考数据:若随机变量
服从正态分布
,则
,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a57137f72cfc5bc24786c498d23561a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/2/c97d0a06-2400-4ba5-a11a-e9eec39f6a74.png?resizew=229)
(1)求a的值;
(2)以样本估计总体,该地区教职工学习时间
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ade697f87b0137f931830d31ea13a07d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce749cca064670cf6dbd1e9731183df4.png)
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5f50e459423e457bdebc77ee4b13340.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e03672b0e4a807c8ba2a24e880177eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30ed27b5ab4f1d7821d0ca2865c0c095.png)
参考数据:若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29bcc248a7770a16fa10fc4602d71e0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/547c0c665547bc6181ed9aec23df6d74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36c61e8034550a92a950a2b57d537d5c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f997d6759f643dc7b65cb4733d91402.png)
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2022-12-02更新
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689次组卷
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6卷引用:湖南省郴州市安仁县第一中学2021-2022学年高二数学模拟试题
湖南省郴州市安仁县第一中学2021-2022学年高二数学模拟试题(已下线)7.5 正态分布(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)7.5 正态分布 (精讲)(2)(已下线)8.3正态分布(1)(已下线)7.5 正态分布(1)河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期7月月考数学试题
9 . 某同学解答一道解析几何题:“已知圆
:
与直线
和
分别相切,点
的坐标为
.
两点分别在直线
和
上,且
,
,试推断线段
的中点是否在圆
上.”
该同学解答过程如下:
请指出上述解答过程中的错误之处,并写出正确的解答过程.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4896f254406ddfe0744b63f10724e76a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e52f174a2372c95fc2a5a1f4bea0ee5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4187fed72b21e7e74f1eb195633ed62d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc6554ac3dff4a59833e407db887f6e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e9b0f5f44abbc6544a2f672b025b013.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f6f17bc385bafb37e8f964e5eb99cd0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/615fc8790237a1b09af51d6bcad6b595.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1578b2282112e75c9e09fa24c62103df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
该同学解答过程如下:
解答:因为 圆![]() ![]() ![]() ![]() 所以 ![]() 所以 ![]() 由题意可设 ![]() 因为 ![]() ![]() ![]() 所以 ![]() ![]() 因为 ![]() 所以 ![]() 化简得 ![]() 由①②可得 ![]() ![]() 所以 ![]() 因式分解得 ![]() 所以 ![]() ![]() 解得 ![]() ![]() 所以 线段 ![]() ![]() ![]() 所以 线段 ![]() ![]() |
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10 . 观察实际情景,提出并分析问题
(1)实际情境
企业的生产经营活动,最终以利润论成败,利润的本质是企业盈利的表现形式,是全体职工的劳动成绩,企业为市场生产优质商品而得到利润,注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润,意味着该企业有一定的盈利能力,意味着企业具有较强的获取现金的能力,影响利润的因素较复杂,如果排除一些较为复杂的因素,我们是否可以预测利润,为企业的发展献计献策?
(2)提出问题
为长期获得可观的利润,应该如何制定企业的发展策略?
(3)分析问题
某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,企业的发展必然受到利润率的制约,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,我们可以根据企业成本与利润的数据,通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
①选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
②试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据,刻画出散点图,根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具,得到的散点图如下图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/79af70409dca49dfa47ecf71f9ab9fb7.png?resizew=433)
根据散点图的形式,结合我们所学的函数图像,发现模型的不确定.
4.建立模型
(1)幂函数型
根据散点图的形式,可假设
(
,且
),
则
,化简得到
,
设,利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为
,不合题意舍.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/dcdf4bfb179147e6a0b0a7de9740f3cf.png?resizew=217)
(2)对数函数模型
设
(
,且
),
则
,解得
,∴
.
(3)指数函数模型
设
,
则
,故
,
,
,
故
,
但当
时,
,故指数函数模型不合适.
结合以上分析,我们发现对数函数函数模型较为合适.
5.检验模型
我们用余下的数据进行检验,
当
时,
;当
,
,这两组数据与实际的数据比较接近,故选择对数函数模型.
6.问题解决
由题知
,解得
.,
∵年利润
,∴该企业要考虑转型.
7.问题拓展
在上述模型的建立的过程中,我们根据散点图选择了不同的函数模型,然后利用前3个点求出对应的函数形式,否定了其中两个不合的函数模型,那么请同学思考一下是否有更合适的模型?
(1)实际情境
企业的生产经营活动,最终以利润论成败,利润的本质是企业盈利的表现形式,是全体职工的劳动成绩,企业为市场生产优质商品而得到利润,注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润,意味着该企业有一定的盈利能力,意味着企业具有较强的获取现金的能力,影响利润的因素较复杂,如果排除一些较为复杂的因素,我们是否可以预测利润,为企业的发展献计献策?
(2)提出问题
为长期获得可观的利润,应该如何制定企业的发展策略?
(3)分析问题
某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,企业的发展必然受到利润率的制约,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,我们可以根据企业成本与利润的数据,通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |||
投资成本![]() | 3 | 5 | 9 | 17 | 33 | … | ||
年利润![]() | 1 | 2 | 3 | 4.1 | 5.2 | … |
②试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据,刻画出散点图,根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具,得到的散点图如下图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/79af70409dca49dfa47ecf71f9ab9fb7.png?resizew=433)
根据散点图的形式,结合我们所学的函数图像,发现模型的不确定.
4.建立模型
(1)幂函数型
根据散点图的形式,可假设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14660b4aa4c21b19c0f62820425ec9d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2684b72f9f38f5046c8ecd4280b7b14b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/406185f4ad8bcd99e23adc8d289088ed.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5fea278e9ded2dc4a0ddd4204d03a033.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d03dee0f8993f9292e40d1745a261a8.png)
设,利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/143b917df0520097be222accbddf9394.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/dcdf4bfb179147e6a0b0a7de9740f3cf.png?resizew=217)
(2)对数函数模型
设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abecae2eb350726a656946082fc72356.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c400a615a16a1662de98dfb4e49d58d3.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6a25922c0e74ad1599ba90e106840b0a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28d68283c88e599532267ef84801bc3d.png)
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(3)指数函数模型
设
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则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e22aacb22684be091e1a0300b791d761.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4850d77570ddd2e2a8f5c248e127a1e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe5d3083be215c3fe17e5d1760d6da45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d4ad895065f5fc7d6b9218b5c92d73d3.png)
故
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a29fee3dcc11a53f9cb36b95668642da.png)
但当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0b49d586e381d72a591858887cca78.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d93802ed778871ae813033756123231.png)
结合以上分析,我们发现对数函数函数模型较为合适.
5.检验模型
我们用余下的数据进行检验,
当
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de72a5190834f5dbe895596656c038b3.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8076b511e27939c629762296b8cfd08.png)
6.问题解决
由题知
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecf40931c445bbd4967a55951eb0bcb8.png)
∵年利润
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8c2964f22ef3350bcc31bf744c4c307.png)
7.问题拓展
在上述模型的建立的过程中,我们根据散点图选择了不同的函数模型,然后利用前3个点求出对应的函数形式,否定了其中两个不合的函数模型,那么请同学思考一下是否有更合适的模型?
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