1 . 设，均为整系数多项式，且.若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根.

2 . 设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值．

3 . 正实数满足；实数满足，，定义函数，，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？

4 . 设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为______．

5 . 若对所有大于2024的正整数，成立，则______．

6 . 一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（       ）

A．事件A与事件C互斥

B．事件B与事件C互斥

C．事件A与事件B相互独立

D．事件B与事件C相互独立

7 . 已知，求最大的实数，使得对任意大于2022的正整数及实数，存在集合的一个子集满足对所有恒成立且.

8 . 设为整数，数列定义为，，且对任意都有.试求所有的，使得这个数列的每一项都是完全平方数.

9 . 如图，在钝角中，为钝角.设的外角平分线与过B和过C的高线分别交于点E，F，点M在线段EC上使得，点N在线段BF上，使得.证明：E，F，M，N四点共圆.

10 . 近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为.
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.