4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的边分别在轴和轴上，.点从点开始沿边匀速移动，点从点开始沿边匀速移动，点，点同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为秒.
   
(1)连接矩形的对角线，当为何值时，以为顶点的三角形与相似；
(2)在点，点运动过程中，线段的中点也随着运动，请求出的最小值；
(3)将沿所在直线翻折后得到，试判断点能否在对角线上，如果能，求出此时的值，如果不能，请说明理由.

6 . 在平面内，P，Q为线段AB外的两点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形，则称P（或Q）为线段AB的“矩形关联点”.特别地，当该四边形为正方形时，称P（或Q）为线段AB的“正方形关联点”.
(1)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，若有点，，，，则其中：
①不是线段AB的“矩形关联点”的是 ；
②是线段AB的“正方形关联点”的是        ；
(2)如图①，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为，，连接AB.若F是线段AB的“矩形关联点”，且点F在直线l：上，求点F的坐标；

   
(3)如图②，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，连接AB.点M的坐标为，的半径为1，试判断上是否存在线段AB的“正方形关联点”，且使线段AB恰为正方形的对角线.若存在，请求出点M的横坐标a的取值范围；若不存在，请说明理由.
   

7 . 在平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．
已知点，，.
(1)求（点O，）；
(2)记函数（，）的图象为，若，求的取值范围；
(3)的圆心，半径为1．若（，），请直接写出的值.

8 . 如图，将菱形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，点C，D的对应点分别是，且，折痕AP交BC于点P．若，，则PC的长等于______．
       

9 . 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
   
(1)求抛物线的表达式和的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．

10 . 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.
   
(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程；
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值.