1 . 如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西
方向且与该港口相距
的A处，并以
的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以
的航行速度匀速行驶，经过
与轮船相遇.（假设水面平静）
(1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？
(2)假设小艇的速度最快只能达到
，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？
方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静）(1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？
(2)假设小艇的速度最快只能达到
，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？
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138次组卷
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4卷引用：陕西省渭南市富平县蓝光中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
陕西省渭南市富平县蓝光中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题云南省曲靖市部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题（已下线）专题1 以实际问题为背景的解三角形问题【讲】（高一期末压轴专项）
2 . 如图，某大型厂区有三个值班室
，值班室
在值班室
的正北方向3千米处，值班室
在值班室的正东方向4千米处，仓库
在
边上且满足
．到值班室的距离；
(2)保安甲沿
从值班室出发行前往值班室，保安乙沿
从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为
，乙的速度为
．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？
，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足．
到值班室的距离；(2)保安甲沿
从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？
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解题方法
3 . 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，
，
；
，
，
记总样本的平均数为
，样本方差为
．则样本方差
）
，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，，；，，记总样本的平均数为，样本方差为．则样本方差）
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解题方法
4 . 作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：
区域为自由活动区，
区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，
区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知
，
，
，
.
时，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的
倍，求
；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，.
时，求护栏的长度（的周长）；(2)若鱼塘
的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求；(3)当
为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
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473次组卷
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3卷引用：江苏省五市十一校2023-2024学年高一下学期5月阶段联测数学试卷
江苏省五市十一校2023-2024学年高一下学期5月阶段联测数学试卷福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（已下线）专题1 以实际问题为背景的解三角形问题【练】（高一期末压轴专项）
5 . 如图，为了测量两山顶
间的距离，
四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在
两点进行测量，途中在点测得
，在点
测得
，测得
．和点
之间的距离；
(2)求两山顶间的距离．
间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得．
和点之间的距离；(2)求两山顶
间的距离．
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6 . 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照
，
，…，
分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在
内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为
的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在
内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
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解题方法
7 . 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
，
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
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8 . 某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
．
的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
(2)试估计该校学生满意度打分的平均数和
的分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）；
(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在
的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分
中分别抽取的人数．
．
的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；(2)试估计该校学生满意度打分的平均数和
的分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）；(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在
的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分中分别抽取的人数．
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9 . 已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）．
(1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？
(2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由．
(1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？
(2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由．
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10 . 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
(2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
(2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
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