名校
解题方法
1 . 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.
消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.
我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1：
将2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数整理得到如下频数分布表2：
记2016年至2019年年份序号为
，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y，x与y的关系如下表3：
（1）求从2016年至2019年该城市各季度消费者信心指数中任取2个，至少有一个不小于115的概率；
（2）在表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X为随机变量，求X的分布列和数学期望(保留2位小数)；
（3）根据表3的数据建立y关于x的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值.
参考数据和公式：
，
，；
；
；
.
消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.
我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1：
| 2016年 | 2017年 | 2018年 | 2019年 | |
| 第一季度 | 104.50 | 111.70 | 118.50 | 119.30 |
| 第二季度 | 104.00 | 110.20 | 114.60 | 118.20 |
| 第三季度 | 105.50 | 114.20 | 110.20 | 118.10 |
| 第四季度 | 106.80 | 113.20 | 113.20 | 119.30 |
| 分组 |  |  |  |  |
| 频数 | 2 | 2 | 7 | 5 |
，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y，x与y的关系如下表3：| 年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 消费者信心指数年均值y | 105 | 112 | 114 | 119 |
（2）在表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X为随机变量，求X的分布列和数学期望(保留2位小数)；
（3）根据表3的数据建立y关于x的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值.
参考数据和公式：
，，；；；.
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2020-10-12更新
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1165次组卷
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4卷引用：湖北省武汉为明教育集团2020届高三下学期第四次调研考试数学(理)试题
湖北省武汉为明教育集团2020届高三下学期第四次调研考试数学(理)试题（已下线）第01讲 线性回归分析-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）
名校
解题方法
2 . 已知集合
.
（1）求证：函数
；
（2）某同学由（1）又发现
是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合
中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；
（3）设
为非零常数，求
的充要条件，并给出证明.
.（1）求证：函数
；（2）某同学由（1）又发现
是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设
为非零常数，求的充要条件，并给出证明.
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3 . 小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“
”：对于任意实数a，b，都有
，通过研究发现新运算满足交换律：
.小颖提出了两个猜想：
，
，
，①
；②
.
(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
(2)设
且
，
，当
时，若函数
在区间
上的值域为
，求
的取值范围.
”：对于任意实数a，b，都有，通过研究发现新运算满足交换律：.小颖提出了两个猜想：，，，①；②.(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
(2)设
且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围.
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2023-12-11更新
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318次组卷
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2卷引用：辽宁省名校联盟2023-2024学年高一上学期12月份联合考试数学试题
2022高一·全国·专题练习
4 . 我们约定[a，
b，c]为二次函数
的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为
，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为
；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为
；
(1)下列结论正确的是____________（填序号）．
①抛物线
，
，
都经过点
；
②抛物线，，与直线
都有两个交点；
③抛物线，，有两个交点．
【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线
称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与
轴的交点为
，
．
【探究问题】
(2)①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②拋物线的顶点为
，是否存在正整数
，使
是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
③当
时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为
，且点不在轴上．判断
和
是否相等，并说明理由．
b，c]为二次函数的“相关数”．【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为
，“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为
；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为
；(1)下列结论正确的是____________（填序号）．
①抛物线
，，都经过点；②抛物线
，，与直线都有两个交点；③抛物线
，，有两个交点．【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线
称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与轴的交点为，．【探究问题】
(2)①“—簇抛物线”
，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．②拋物线
的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．③当
时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．
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5 . 给出集合
.
（1）若
，求证：函数
；
（2）由（1）分析可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命
题：命题甲：集合
中的元素都是周期函数.命题乙：集合中的元素都是奇函数. 请对此
给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；
（3）若
，数列
满足：
，且
，数列的前项
和为
，试问是否存在实数、
，使得任意的
，都有
成立，若
存在，求出、的取值范围，若不存在，说明理由.
.（1）若
，求证：函数； （2）由（1）分析可知，
是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合
中的元素都是周期函数.命题乙：集合中的元素都是奇函数. 请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；
（3）若
，数列满足：，且，数列的前项和为
，试问是否存在实数、，使得任意的，都有成立，若存在，求出
、的取值范围，若不存在，说明理由.
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