1 . 数列满足:是大于1的正整数,试证明:在数列中存在相邻的两项,它们除以余数相同.
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2 . 求所有正整数,满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆.
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3 . 求证:不存在无穷多项的素数数列,使得.
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4 . 设n为正整数,称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1,2,……,(n+1)2分配给Tn的所有格点,使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1×1格子S为“好方格”,如果从2S的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1,2,…,9分配给T2的格点的一种方式,其中B、C是好方格,而A、D不是好方格)设Tn中好方格个数的最大值为f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)关于正整数n的表达式.
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)关于正整数n的表达式.
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5 . 设、、、是四个不同的实数,使得,且.求的最大值.
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6 . 设是正整数,且没有两个是相邻的,又对于.求证:对每一个正整数,区间中至少含有一个完全平方数.
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名校
7 . 已知集合.求该集合具有下列性质的子集个数:每个子集至少含有个元素,且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.
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2018-12-08更新
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358次组卷
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4卷引用:1996年爱朋思杯上海市高中数学竞赛试题
8 . 如图,五边形内接于边长为1的正五边形ABCDE.证明:五边形中至少有一条边的长度不小于.
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9 . 如图,正的边长为5,延长BA至点P,使得. D为线段BC上一点(包括端点),直线AD与的外接圆交于E、F两点,其中,.
(1)设,试将表示为关于x的函数;
(2)求的最小值.
(1)设,试将表示为关于x的函数;
(2)求的最小值.
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10 . 对两个集合A、B,定义.设整数为的所有子集,M为一个2n行2n列的数表.对于任意的,将集合中所有元素之和(约定空集的元素和为0)填在数表M的第i行第j列的位置上.求数表M中所有数之和.
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