1 . 已知定义在R上的函数
满足
，且对任意实数x、y，恒有
①设数列
满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）令
，
为数列
的前n项和.证明：＜1.
满足，且对任意实数x、y，恒有①设数列满足.（1）求数列
的通项公式；（2）令
，为数列的前n项和.证明：＜1.
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2 . 过直线
上一动点
（不在
轴上）作抛物线
的两切线，
、
为切点，直线
、
分别与轴交于点
、
.证明：
（1）直线
恒过一定点；
（2）
的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值.
上一动点（不在轴上）作抛物线的两切线，、为切点，直线、分别与轴交于点、.证明：（1）直线
恒过一定点；（2）
的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值.
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3 . 在单调递增数列
中
，
，且
、
、
成等差数列，、、
成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列
的前
项和为，证明：
中，，且、、成等差数列，、、成等比数列（1）求数列
的通项公式；（2）记数列
的前项和为，证明：
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2014高三·湖北·竞赛
4 . 设、为双曲线
上的两点，
为线段
的中点，线段的垂直平分线与双曲线交于、
两点
（1）确定
的取值范围
（2）试判断、、、四点是否共圆？并说明理由
、为双曲线上的两点，为线段的中点，线段的垂直平分线与双曲线交于、两点（1）确定
的取值范围（2）试判断
、、、四点是否共圆？并说明理由
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5 . 已知数列、
满足
(1)证明:对一切的,有
.
(2)求数列的通项公式.
、满足 (1)证明:对一切的
,有.(2)求数列
的通项公式.
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2012高三·湖北·竞赛
6 . 已知正项数列满足
，且
，
.求的通项公式.
满足，且，.求的通项公式.
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2011高三·湖北·竞赛
7 . 已知椭圆:
，过点
而不过点
的动直线
与椭圆交于、两点.
（1）求
；
（2）记
的面积为
，证明：
.
:，过点而不过点的动直线与椭圆交于、两点.（1）求
；（2）记
的面积为，证明：.
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8 . 已知数列满足
，
.证明：对这一切
，有
（1）
；
（2）
.
满足，.证明：对这一切，有（1）
；（2）
.
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9 . 求所有的正整数，使得
是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.
，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.
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