1 . 设
、
、
是方程
的三个根，
且
.
⑴求的整数部分；
⑵求
的值.
、、是方程的三个根，且.⑴求
的整数部分；⑵求
的值.
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2 . 设
，
，正实数数列
满足
，且当
时
.求证： ⑴当时，
； ⑵
.
，，正实数数列满足，且当时.求证： ⑴当时，； ⑵.
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3 . 如图，
、
是双曲线
的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证： （1）
； ⑵、、A、B四点在同一个圆上.
、是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证： （1）； ⑵、、A、B四点在同一个圆上.
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4 . 设，
，
.
证明：（1）存在常数
，使得对任意正整数
，有
.
（2）对任意正整数，有
.
，，.证明：（1）存在常数
，使得对任意正整数，有.（2）对任意正整数
，有.
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5 . .设数列 定义为
证明：
（1）当
时，
；
（2）
定义为 证明：（1）当
时， ；（2）
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2005高三·天津·竞赛
6 . 已知椭圆
，其长轴为
，
是椭圆上不同于点、
的一个动点，直线
、
分别与同一条准线
交于
、
两点．试证明：以线段
为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．
，其长轴为，是椭圆上不同于点、的一个动点，直线、分别与同一条准线交于、两点．试证明：以线段为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．
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7 . 设
，
.证明：
（1）
，并说明等号成立的条件；
（2）
.
，.证明：（1）
，并说明等号成立的条件；（2）
.
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2012高三·天津·竞赛
8 . 已知双曲线的两个焦点坐标分别为
和
，双曲线的一条切线与
轴交于
，且斜率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）若切线与双曲线的切点为，证明：
.
和，双曲线的一条切线与轴交于，且斜率为2.（1）求双曲线的方程；
（2）若切线与双曲线的切点为
，证明：.
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9 . 设a为实数,两条抛物线
与
有四个交点
(1)求a的取值范围;
(2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标.
与有四个交点(1)求a的取值范围;
(2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标.
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