1 . 已知有限集，若，则称A为“完全集”．
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且，求A．

3 . 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
(1)求；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．

4 . 对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______.

6 . 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．

8 . 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对．
(1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由．
(2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值．
(3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值．

10 . 对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有．
则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（       ）

A．为

B．为

C．若，则为

D．若为，则也为（为自然对数的底数）