1 . 已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值.
(1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）；
(2)若集合具有性质，求证：和；
(3)若集合具有性质，求证：.

2 . 设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)求.

5 . 已知集合，定义上两点，，且，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，则

B．当时，设C为上一点，在△ABC中，若，则

C．当时，设C为上一点，则

D．若，，设为上一点，其中，则满足的点P有125个

6 . 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.
(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：；
(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.

8 . 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（       ）

A．7

B．6

C．5

D．4

9 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

10 . 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.