1 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:
,其中
表示虚数单位,
是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:
其中的感叹号!表示阶乘
,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
;②
;
(3)求出角度
的
倍角公式(用
表示,
).
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(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
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(3)求出角度
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2 . 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素,十四学裁衣,十五弹箜篌,十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长,音域宽广、音色柔美清撤,表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制,对其进行绘制,发现近似一扇形,在圆弧的两个端点A,B处分别作切线相交于点
,测得切线
,
,
,根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( )
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A.0.62 | B.0.56 | C.![]() | D.![]() |
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3 . 黄金分割比值是指将一条线段一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点,满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星,如图,点D是线段AB的黄金分割点,由此推断![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc4994902fc3c48f888e7e62ab294785.png)
______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc4994902fc3c48f888e7e62ab294785.png)
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2023-06-12更新
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294次组卷
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5卷引用:2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第1章 综合拔高练
2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第1章 综合拔高练四川省宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学(理)试题(已下线)压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式)练四川省宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学(文)试题(已下线)模块三专题2 新定义专练【高一下人教B版】
4 . 天文学家、数学家梅文鼎,为清代“历算第一名家”和“开山之祖”,在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示,在梅文鼎证明正弦定理时的构图中,
为锐角三角形
外接圆的圆心.若
,则
( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/07d94fc50eee6898323b559e33c8a0d3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2ff71012ac1028f8ec41897d4cb488d.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/6/566f17bc-0bad-42ba-be7e-8c0213aef990.png?resizew=180)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2023-06-05更新
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763次组卷
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7卷引用:C9(镇海中学、衡水中学、历城二中、南京外国语、复旦附中、福州一中、武昌实验、湖南师大附中、华南师大附中)2023届新高考模拟数学试题
C9(镇海中学、衡水中学、历城二中、南京外国语、复旦附中、福州一中、武昌实验、湖南师大附中、华南师大附中)2023届新高考模拟数学试题(已下线)模块二 专题2《向量的数量积与三角恒等变换》单元检测篇 B提升卷(人教B)江西省丰城拖船中学2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题江西省峡江中学2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(甲卷)江西省新余市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题河南省洛阳市部分学校2023-2024学年高三上学期三调考试数学试题(已下线)模块四 专题8 新情境专练 拔高 期末终极研习室(2023-2024学年第一学期)高一人教A版
名校
5 . 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈,筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:米)(在水面下则为负数),若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间,设时间为t(单位:秒),已知
,则( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba48ae1a80053b0defb48a57c638e708.png)
A.![]() ![]() ![]() |
B.![]() ![]() ![]() |
C.大约经过38秒,盛水筒P再次进入水中 |
D.大约经过22秒,盛水筒P到达最高点 |
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2023-05-05更新
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831次组卷
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6卷引用:福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题
福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题(已下线)模块一 专题4 三角函数与解三角形(人教A)2福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题福建省优质校2024届高三上学期12月阶段性检测数学试题(已下线)模块一 专题3 三角函数的图象与性质 【讲】人教B版(已下线)模块一 专题2 三角函数的图象与性质 【讲】北师大版高一期中
6 . 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为
的圆,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒,当
时,盛水筒
位于点
,经过
秒后运动到点
,点
的纵坐标满足
,
),则下列叙述正确的是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/4/22/3222133524889600/3222913034240000/STEM/d602fde155bf4dcdb4da87b386090e73.png?resizew=130)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/4/22/3222133524889600/3222913034240000/STEM/ea639e3801564c2f83efee5fb932e1db.png?resizew=172)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7aeb9a94e392f6759b18abed89aacc5e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6dc99b235e319c657f757726944349be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8701e0cce437edc830438b4fe6277d89.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/4/22/3222133524889600/3222913034240000/STEM/d602fde155bf4dcdb4da87b386090e73.png?resizew=130)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/4/22/3222133524889600/3222913034240000/STEM/ea639e3801564c2f83efee5fb932e1db.png?resizew=172)
图1 图2
A.筒车转动的角速度![]() |
B.当筒车旋转100秒时,盛水筒![]() ![]() ![]() |
C.当筒车旋转100秒时,盛水筒![]() ![]() |
D.筒车在![]() ![]() ![]() |
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解题方法
7 . 十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,一个是黄金分割,如果把勾股定理比作黄金矿的话,黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为
的等腰三角形称为“黄金三角形”,那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示,
(黄金分割比),则
( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/24/8603dd34-ea22-47eb-aec9-463050b0d316.png?resizew=146)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7b398c95494eddc79939f16e66cf4da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/924dce7607481d800ab87ad445589af1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6fdf38adfcbe03e5da37b3e6002baa27.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/24/8603dd34-ea22-47eb-aec9-463050b0d316.png?resizew=146)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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2023-04-23更新
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641次组卷
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4卷引用:贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)理科数学试题
贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)理科数学试题贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试(五)数学(文)试题浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(已下线)第13题 三角问题立足“三变”,关键在于恒等变换(优质好题一题多解)
名校
解题方法
8 . 底与腰(或腰与底)之比为黄金分割比
的等腰三角形称为黄金三角形,其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得
的值是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/309afaa9f12ee779d12fd79bb8faa37c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c553c784223af19c8e7c56541d5c235a.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-07-07更新
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910次组卷
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6卷引用:北京市海淀区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题
9 . 勾股定理被称为几何学的基石,相传在商代由商高发现,又称商高定理.汉代数学家赵爽利用弦图(又称赵爽弦图,它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成,如图1),证明了商高结论的正确性.现将弦图中的四条股延长相同的长度(如将
延长至
)得到图2.在图2中,若
,
,
、
两点间的距离为
,则弦图中小正方形的边长为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/24/2943126954598400/2943414703685632/STEM/141783633c7945fbab442ff1547e4f2d.png?resizew=326)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9abaeba15f3abdd877bc701af52c5cd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecf7679c8b4b1e442ce4286d4b0e9c32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8444a67b9efcbbf0dd6935bd6ec21a2a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ba7dc38d26e8218fd9da215855134c0.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/24/2943126954598400/2943414703685632/STEM/141783633c7945fbab442ff1547e4f2d.png?resizew=326)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-03-25更新
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1349次组卷
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8卷引用:湖南省三湘名校教育联盟2022届高三下学期3月大联考数学试题
湖南省三湘名校教育联盟2022届高三下学期3月大联考数学试题辽宁省2022届高三3月联合考试数学试题河南省名校教研联盟2021-2022学年高三下学期3月联考理科数学试题河南省豫北名校2021-2022学年高二下学期5月调研考试理科数学试题(已下线)第01讲 余弦定理-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义(苏教版2019必修第二册)江西省广昌三中、 南丰二中、金溪二中、崇仁二中2021-2022学年高二下学期期中联考数学(理)试题(已下线)专题2 赵爽弦图江西省遂川中学2023届高三一模数学试题(文科)
名校
解题方法
10 . 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为
称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为
的等腰三角形,由此我们可得
( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/029d393bb07b7140905b85f550519de4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7b398c95494eddc79939f16e66cf4da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03f2098def870118dd4a5c923ecf10cd.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-03-06更新
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2259次组卷
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5卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次模拟数学(文科)试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次模拟数学(文科)试题黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次模拟数学(理科)试题广东省深圳市第七高级中学2022届高三下学期三月月考数学试题(已下线)第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲+练)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)河北省保定市唐县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题