名校
解题方法
1 . 设数列
的前
项和为
.若
，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为
，求
的取值范围;
(2)若数列的前项和为
，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为
的等比数列.若数列与
都是“紧密数列”，求的取值范围.
的前项和为.若，则称是“紧密数列”.(1)已知数列
是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;(2)若数列
的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;(3)设数列
是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
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2023-03-06更新
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747次组卷
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14卷引用：上海市进才中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题
上海市进才中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题上海市南汇中学2022届高三上学期期中数学试题上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模）数学试题（已下线）上海华东师范大学第二附属中学2019届高三数学考试试卷（10月）上海市长宁区2018-2019学年高二上学期期末数学试题上海市民办南模中学2021-2022学年高二下学期开学考数学试题上海市洋泾中学2022-2023学年高二上学期10月质量检测数学试题上海市松江二中2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海市南汇中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）核心考点06数列-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题沪教版(2020) 选修第一册 单元训练 期末测试广东省佛山市南海区南执高级中学2023-2024学年高一下学期第一阶段测数学试题（已下线）模块三 专题2 新定义专练【高二下人教B版】
20-21高三下·上海浦东新·开学考试
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2 . 设等差数列
的公差为
，且
，若设
是从
开始的前
项数列的和，即
（
，
），
（
），如此下去，其中数列
是从第
（
）开始到第
（
）项为止的数列的和，即
（
，
）.
(1)若数列
（
，
），试找出一组满足条件的、
、
，使得：
；
(2)试证明对于数列（），一定可通过适当的划分，使所得的数列
中的各数都为平方数；
(3)若等差数列中
，
，试探索该数列中是否存在无穷整数数列
（
），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由.
的公差为，且，若设是从开始的前项数列的和，即（，），（），如此下去，其中数列是从第（）开始到第（）项为止的数列的和，即（，）.(1)若数列
（，），试找出一组满足条件的、、，使得：；(2)试证明对于数列
（），一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列
中，，试探索该数列中是否存在无穷整数数列（），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由.
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3 . 若数列对任意连续三项
，均有
，则称该数列为“跳跃数列”.
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
① 等差数列：
；
② 等比数列：
；
（2）跳跃数列满足对任意正整数均有
，求首项的取值范围.
对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
① 等差数列：
；② 等比数列：
；（2）跳跃数列
满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.
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2021-01-17更新
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641次组卷
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3卷引用：上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）模块一 专题5 等差数列与等比数列 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高二人教A版
解题方法
4 . 若对于数列中的任意两项
､
，在中都存在一项
，使得
，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项
，在中都存在两项
､
，使得
，则称数列为“Y数列”.
（1）若数列为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列的前项和
，求证：数列为“Y数列”；
（3）若数列为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：
成等比数列.
中的任意两项､，在中都存在一项，使得，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项，在中都存在两项､，使得，则称数列为“Y数列”.（1）若数列
为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由；（2）若数列
的前项和，求证：数列为“Y数列”；（3）若数列
为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：成等比数列.
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19-20高二下·上海浦东新·期末
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5 . 已知集合
，其中
，
，
，
表示
中所有不同值的个数.
（1）设集合
，
，分别求
，
；
（2）若集合
，证：
；
（3）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.
，其中，，，表示中所有不同值的个数.（1）设集合
，，分别求，；（2）若集合
，证：；（3）
是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.
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名校
6 . 对于数列
，称
（其中
）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有
，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且
，其前项和记为，试计算：
（
）；
（3）若各项均为正数的等比数列
的公比
，求证:是“趋稳数列”.
，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求的取值范围；（2）已知等差数列
的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）；（3）若各项均为正数的等比数列
的公比，求证:是“趋稳数列”.
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2020-02-01更新
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1792次组卷
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5卷引用：上海市2021届高三高考数学押题密卷试题07
名校
7 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为
，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足
且
，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意
都有
，且
，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数
，使
．
，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列
的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列
满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列
成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．
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2020-01-01更新
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573次组卷
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3卷引用：上海市高桥中学2022届高三上学期12月月考数学试题
名校
8 . 设数列的前项和为，若
，则称是“
数列”.
（1）若是“数列”，且，
，
，
，求的取值范围；
（2）若是等差数列，首项为，公差为，且
，判断是否为“数列”；
（3）设数列是等比数列，公比为，若数列与
都是“数列”，求的取值范围.
的前项和为，若，则称是“数列”.（1）若
是“数列”，且，，，，求的取值范围；（2）若
是等差数列，首项为，公差为，且，判断是否为“数列”；（3）设数列
是等比数列，公比为，若数列与都是“数列”，求的取值范围.
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2019-12-07更新
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436次组卷
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6卷引用：上海市延安中学2022届高三上学期期中数学试题
18-19高二上·上海闵行·期中
名校
9 . 平面直角坐标系中，
为坐标原点，射线
与轴正半轴重合，射线
在第一象限，且与轴正半轴的夹角为
，在上有点列
，在上有点
，已知
，
（1）求点
和
的坐标；
（2）求
的坐标；
（3）求
面积的最大值，并求出此时的值.
为坐标原点，射线与轴正半轴重合，射线在第一象限，且与轴正半轴的夹角为，在上有点列，在上有点，已知，（1）求点
和的坐标；（2）求
的坐标；（3）求
面积的最大值，并求出此时的值.
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17-18高二上·上海闵行·期末
名校
10 . （1）在等差数列
和等比数列
中，
，是否存在正整数
，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（2）已知当
时，有
，根据此信息，若对任意，都有
，求
的值
和等比数列中，，是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；（2）已知当
时，有，根据此信息，若对任意，都有，求的值
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