1 . 鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．

2 . 已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.

3 . 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG，满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF．

(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由；
(2)若BC＝2AB＝4，∠BCF＝120°，设M是线段FC上一点，连结EM与DM．判断平面EDM与平面BCFD是否垂直？并求三棱柱ABC－EDF的侧面积.

4 . 定义：一个几何体的表面积与体积之比称为几何体的相对表面积.

（1）若一个直三棱柱高为，底面三角形的内切圆半径为，相对表面积为，求证：；
（2）如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧克力（厚度忽略不计），用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.