1 . 已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（       ）

A．动点轨迹的长度是

B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是

C．直线与所成的角为，则的最小值是

D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为

2 . 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为.后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，为球的半径，也即正方体的棱长均为，从而计算出，记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，棱长为的正方形的方盖差为，则等于（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.已知拟柱体的上底面和下底面均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱，，，的中点.记三角形的面积为，梯形的面积为，则___________；若三棱锥的体积为1，则四棱锥的体积为___________.

4 . 如图，已知，分别是圆台上下底面圆的直径（，为上下底面圆的圆心），直线与所成的角为.

（1）求证：；
（2）若，，圆台的母线长为，求四面体的体积.

5 . 阿基米德和高斯、牛顿井列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“拾我一个支点，我就能撬起整个地球．”史料表明阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有_______个面；若正方体的棱长为2，则该半正多面体的体积为________．

6 . 在正方体中，是棱的中点，是棱上的定点，满足，点为棱上的动点，则下列命题正确的是（       ）

A．

B．三棱锥的体积是定值

C．存在点使得与面所成的角为

D．过、、三点的截面将正方体分割成两部分，较小部分与较大部分的体积比为

7 . 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（       ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C．圆锥截面的面积的最大值为

D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为

8 . （1）如图1，正四棱锥，．

（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．

9 . 已知一个高为的圆柱形水杯装满水，如图①，现将水杯向右倾斜，如图②，此时水杯中剩余的水占水杯容积的比值为______，将水杯中剩余的水倒满与圆柱形水杯同底等高的圆锥形杯子，如图③，则此时圆柱形杯子中的水占水杯容积的比值为__________．（不计水杯玻璃厚度）

10 . 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.
解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积；
（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
[参考公式：三元均值不等式及变形，当且仅当时取得等号]