1 . 已知点的坐标分别为，.三角形的两条边，所在直线的斜率之积是.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线方程为，直线方程为，直线交于，点，关于轴对称，直线与轴相交于点.求的面积关于的表达式.

2 . 如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C在P点处切线垂直，与抛物线C交于另一点Q．

(1)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
(2)当点P在抛物线C上移动时，求线段中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．

3 . 已知椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；
（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．

4 . 在平面直角坐标系中，已知点为平面上一动点，到直线的距离为，.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线与交于两点，线段的中点为，直线与直线交点的纵坐标为1，求面积的最大值及此时直线的方程.

5 . 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

6 . 如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．

7 . 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（i）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（ii）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

8 . 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．

9 . 已知点为圆周的动点，过点作轴，垂足为，设线段的中点为，记点的轨迹方程为，点
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若斜率为的直线经过点且与曲线的另一个交点为，求面积的最大值及此时直线的方程；
(3)是否存在方向向量的直线，使得与曲线交与两个不同的点，，且有?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．