1 . 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交曲线于、两点，若射线交椭圆于点，求面积的最大值.

2 . 已知圆，点，P是圆C上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点M.
（1）求点M的轨迹方程E.
（2）已知直线交曲线E于A，B两点.
①若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值；
②若，垂直于点D，求点D的轨迹方程.

3 . 已知椭圆过点，且右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过定点的直线（与轴不重合）与椭圆交于不同的两点、，且点关于原点的对称点为，，试求的最大值.

4 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，为上的任意一点，，且该椭圆的短轴长等于焦距.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知点，是上关于原点对称的两点，过的左顶点作直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，判断是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由.

5 . 已知平面内动点与点，连线的斜率之积为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，直线与轴交于点，求的值．

6 . 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过坐标原点的直线交轨迹于，两点，轨迹上异于，的点满足直线的斜率为．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求面积的最大值．

7 . 已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），若四边形的面积为，求直线的方程.

8 . 已知点、分别在轴、轴上，，．
（1）求的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线、，与曲线分别交于、（不同于点）两点，求证：直线过定点．

9 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.

10 . 设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；
（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.