1 . 已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点．
求椭圆C的方程；
若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

2 . 设椭圆，右顶点是，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.

3 . 已知椭圆（）的离心率为，过焦点垂直于长轴的弦长为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于、两点，求证：.

4 . 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的方程为．若直线与直线平行且与椭圆相切，求直线的方程．

5 . 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于 两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于 两点．是否存在点使得以 为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆（）的离心率是，其左、右焦点分别为，短轴顶点分别为，如图所示，的面积为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点（异于点），证明：直线和的斜率和为定值.

7 . 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，是否存在这样的实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左，右焦点、．若以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设L为过椭圆右焦点的直线，交椭圆于、两点，当周长为时；求面积的最大值.

9 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 1.已知椭圆C：的离心率为 ，椭圆C的长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．