1 . 已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，过左焦点F₁的直线l₁交Γ于A，B两点，过右焦点F₂的直线l₂交Γ于C，D两点，且点A，C位于x轴上方，当直线l₁的倾斜角为90°时，恰有|AB|＝2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l₁，l₂的斜率之积为，求四边形ACBD面积的最大值．

2 . 在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为________．

3 . 已知椭圆的长轴长为4，离心率为
(1)求椭圆的程；
(2)设椭圆的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若，求直线MN的方程．
(3)圆锥曲线问题的关键一步是条件的翻译，所以请同学们不用解答，翻译下面的条件，转化为数学表达式：
①若直线与双曲线交于A、B两点，与其渐近线交于C、D两点，求证：AC=BD.
②椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为，过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q，设L的斜率为K，若，求斜率K的值.
③椭圆的左顶点为A，过点A作直线与椭圆交于另一点B，若直线交轴于点C，且，求直线的斜率.

4 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，离心率，短轴长为2，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过且斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
(3)过点作另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围．

5 . 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：，A₁，A₂分别为椭圆C₁的左，右顶点．椭圆C₂以线段A₁A₂为短轴且与椭圆C₁为“相似椭圆”．

（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C₁于点H．求证：H为△PA₁A₂的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)

6 . 已知椭圆焦点在轴上过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2），为椭圆的左､右顶点，直线：与轴交于点，点是椭圆：上异于，的动点，直线，分别交直线于，两点.证明：恒为定值.

7 . 如图，已知抛物线，椭圆：中心在原点，焦点在y轴上，且离心率为．直线交于A、B两点，交于M、N两点．是上的点，且始终位于直线l的右上方．连接、，的平分线交y轴于H，交的左侧部分于T．

（1）求证：轴；
（2）若M是的中点，是否存在最大值？若存在，求出使取得最大值时m的值；若不存在，请说明理由．