1 . 已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.
（i）求证：直线的斜率为定值；
（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.

2 . 在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

3 . 已知圆C：，O为坐标原点，点A（2，0），点B是圆C上一动点，若线段AB的中垂线与直线BC相交于点D，在点D的轨迹上任取一点S，过点S作直线y=x的垂线，垂足为N，则△SON的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知点，，，且.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)若点，过点且斜率为的直线交C于A，B（异于点Q）两点，记直线AQ，BQ的斜率分别为，，证明：存在，满足.

5 . 中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，、为该双曲线的焦点，当点的纵坐标为时，恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于、两点，且是弦的中点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

6 . 在中，如果，，求证：.

7 . 已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.