1 . 在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点，是轨迹上相异的两点.
（Ⅰ）过点，分别作抛物线的切线，，与两条切线相交于点，证明：；
（Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值.

2 . 已知椭圆：的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于A，两点，点，且为定值．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值．

3 . 已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若直线的斜率存在，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

4 . 已知椭圆的焦距为，离心率为，轴上一点的坐标为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

5 . 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.

6 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．

7 . 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

8 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切则视为、重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.