1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
（1）求的方程．
（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．

2 . 已知点P是椭圆C:上一点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论

3 . 在平面直角坐标系中，的顶点，，且、、成等差数列.
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）直线与顶点的轨迹交于两点，当线段的中点落在直线上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

4 . 已知椭圆的焦距为2，过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试探究在轴上是否存在一定点，使直线恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆上的两个动点，若直线与直线的斜率之和为，证明，直线恒过定点．

6 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．

7 . 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．                                                                                
（1）求椭圆的方程；                                                                                
（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．