1 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过的直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点．

4 . 已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点.
(1)求的值；
(2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点.

5 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

6 . 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．

(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

7 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与的面积之比；若不是，请说明理由．

9 . 已知椭圆，四个点，，，中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，判断直线l是否经过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

10 . 设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距离为.

(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、，过作两条互相垂直的直线交椭圆于、，问直线是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出面积的最大值.如果不是，请说明理由.