1 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

2 . 已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是
（1）求曲线的方程；
（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

3 . 已知椭圆E：的离心率为分别是它的左、右焦点，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

4 . 已知椭圆：过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.

5 . 椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点）．试问：直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，求面积的最大值．

6 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．

7 . 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点．

(1)求证：直线过定点并求点的坐标；
(2)求三角形面积的最大值．

8 . 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

9 . 已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

10 . 已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM·k_BN＝－，求证：直线l过原点．