1 . 已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

2 . 设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．
(1)当为何值时，点的轨迹为圆，并求出该圆的方程；
(2)当点的轨迹为圆时，设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的右焦点．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴的交点为定点，求的值及定点的坐标.

4 . 已知椭圆：的右焦点为，离心率为，点且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不垂直于轴的直线与相交于，两点，，均为整数，且满足与关于轴对称，求证：直线过定点．

5 . 已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

6 . 已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.

7 . 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点，其下顶点为点．若斜率存在的直线交椭圆于两点，且不过点，直线分别与轴交于两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）当的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的左顶点，且，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，为椭圆上异于点的动点，设直线，的斜率分别为，，且，过原点作直线的垂线，垂足为点．问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点（均不是椭圆的右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．