1 . 如图所示，椭圆：（）的离心率为，左焦点为，右焦点为，短轴两个端点、，与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点坐标；
（3）当弦的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值.

2 . 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在一定点（），使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．
（1）若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；
（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：．

4 . 如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，
①求的最值；
②求证：四边形的面积为定值．

6 . 以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于两点，求证：点到直线的距离为定值．

8 . 已知椭圆与直线：交于不同的两点，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 线段是椭圆过的一动弦，且直线与直线交于点，则__________