解题方法
1 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将化为分数是这样计算的:设,则,即,解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜局.设甲在净胜局时,继续比赛甲获胜的概率为,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为,期望为.
①求甲获胜的概率;
②求.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜局.设甲在净胜局时,继续比赛甲获胜的概率为,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为,期望为.
①求甲获胜的概率;
②求.
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名校
2 . 自 2021 年 9 月以来, 某中学实行封闭式管理, 学生均在学校食堂就餐. 为了解学生对食堂服务 的满意度, 食堂作了一次随机调查, 已知被调查的男女生人数相同均为 . 调查显示男生满意的人 数占男生人数的 , 女生满意的人数占女生人数的 , 且经以下 列联表计算可得 的观测值 .
(1)求 的值, 完成上述表格, 并判断有多大的把握认为学生对食堂服务的评价与性别有关?
(2)为进一步征集学生对食堂的意见, 食堂又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的学生中随机抽 取 9 人, 再从这 9 人中抽取 3 人进行面对面交流, 求事件 “至少抽到一名女生” 的概率.
附表:
男生 | 女生 | 合计 | |
满意 | |||
不满意 | |||
合计 |
(2)为进一步征集学生对食堂的意见, 食堂又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的学生中随机抽 取 9 人, 再从这 9 人中抽取 3 人进行面对面交流, 求事件 “至少抽到一名女生” 的概率.
附表:
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名校
3 . 当今时代,手机的功能越来越丰富,这给我们的生活带来了很多的便利,然而过度玩手机已成为一个严重的社会问题,特别是在校学生过度玩手机,已严重影响了其身心发展和学业的进步.某校为了解学生使用手机的情况,从全校学生中随机抽取了100名学生,对他们每天使用手机的时间进行了统计,得到如下的统计表:
(1)以样本估计总体,若在该校中任取一名学生,求该生使用手机时间不低于1小时的概率;
(2)对样本中使用手机时间不低于1.5小时的学生,采用分层抽样的方法抽取6人,再在这6人中随机抽.取2人,求抽取的2人使用手机时间均低于2小时的概率;
(3)经过进一步统计分析发现,使用手机时间低于1小时的学生中,有25人综合素质考核为“优”,使用手机时间不低于1小时的学生中,有20人综合素质考核为“优”,问:是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关?
附:.
时间/小时 | [0,0.5) | [0.5,1) | [1,1.5) | [1.5,2) | [2,2.5) | [2.5,3] |
人数 | 20 | 25 | 25 | 15 | 10 | 5 |
(1)以样本估计总体,若在该校中任取一名学生,求该生使用手机时间不低于1小时的概率;
(2)对样本中使用手机时间不低于1.5小时的学生,采用分层抽样的方法抽取6人,再在这6人中随机抽.取2人,求抽取的2人使用手机时间均低于2小时的概率;
(3)经过进一步统计分析发现,使用手机时间低于1小时的学生中,有25人综合素质考核为“优”,使用手机时间不低于1小时的学生中,有20人综合素质考核为“优”,问:是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关?
附:.
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名校
4 . 第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化,主动向世界开放市场的重要举措,有利于促进世界各国加强经贸交流合作,促进全球贸易和世界经济增长,推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关,随机抽取了100名不同性别的人员(男、女各50名)进行问卷调查,并得到如下列联表:
(1)根据列联表,能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关;
(2)若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况,再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因,求这2人中至少有一名女性的概率.
附:.
参考数据:
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(2)若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况,再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因,求这2人中至少有一名女性的概率.
附:.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2020-01-28更新
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736次组卷
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5卷引用:湖北省恩施州2022届高三上学期期末文科数学试题
湖北省恩施州2022届高三上学期期末文科数学试题2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学(文)试题2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考文数试卷广西南宁市第三中学2019-2020学年高三期末大联考文科数学试题(已下线)理科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略(四)(课标全国卷) (5月31日)
名校
5 . 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值,越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程,甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查,其中男生60人,且抽取的男生中对游泳有兴趣的占,而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.
(1)试完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”?
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生,其中3名对游泳有兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
(3)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖,如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
(1)试完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男生 | ______ | ______ | ______ |
女生 | ______ | ______ | ______ |
合计 | ______ | ______ | ______ |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生,其中3名对游泳有兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
(3)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖,如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
班级 | 一(1) | 一(2) | 一(3) | 一(4) | 一(5) | 一(6) | 一(7) | 一(8) | 一(9) | 一(10) | … |
市级比赛获奖 人数 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | … |
市级以上比赛 获奖人数 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | … |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2019-01-14更新
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786次组卷
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3卷引用:【省级联考】湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题
名校
6 . 华中师大附中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关,从高一年级抽取60,名同学(男同学30名,女同学30名),给所有同学物理题和数学题各一题,让每位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)在犯错误的概率不超过1%是条件下,能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关?
(2)经过多次测试后发现,甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟,乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟,现甲、乙解同一道物理题,求甲比乙先解答完的概率;
(3)现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人,对题目的解答情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望.
(1)在犯错误的概率不超过1%是条件下,能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关?
(2)经过多次测试后发现,甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟,乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟,现甲、乙解同一道物理题,求甲比乙先解答完的概率;
(3)现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人,对题目的解答情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望.
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7 . 在平面内,不等式确定的平面区域为,不等式组确定的平面区域为.
(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域中任取3个“整点”,求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域中的概率;
(2)在区域中每次任取一个点,连续取3次,得到3个点,记这3个点落在区域中的个数为,求的分布列和数学期望.
(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域中任取3个“整点”,求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域中的概率;
(2)在区域中每次任取一个点,连续取3次,得到3个点,记这3个点落在区域中的个数为,求的分布列和数学期望.
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名校
8 . 华中师大附中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关,从高一年级抽取名同学(男同学名,女同学名),给所有同学物理题和数学题各一题,让每位同学自由选择一题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)在犯错误的概率不超过的条件下,能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关?
(2)经过多次测试后发现,甲每次解答一道物理题所用的时间为分钟,乙每次解答一道物理题所用的时间为分钟,现甲、乙解同一道物理题,求甲比乙先解答完的概率;
(3)现从选择做物理题的名女生中任意选取两人,对她们的解答情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望.
附表及公式
物理题 | 数学题 | 总计 | |
男同学 | |||
女同学 | |||
总计 |
(1)在犯错误的概率不超过的条件下,能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关?
(2)经过多次测试后发现,甲每次解答一道物理题所用的时间为分钟,乙每次解答一道物理题所用的时间为分钟,现甲、乙解同一道物理题,求甲比乙先解答完的概率;
(3)现从选择做物理题的名女生中任意选取两人,对她们的解答情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望.
附表及公式
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2018-05-24更新
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932次组卷
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2卷引用:【全国百强校】湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试数学(理)试题
名校
9 . 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2018-01-09更新
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403次组卷
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25卷引用:2016届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷
2016届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷湖北省部分重点中学2018届高三7月联考数学(理)试题2015届江西省九江市第一次高考模拟统一考试理科数学试卷2015届辽宁省锦州市高三质量检测二理科数学试卷2016届甘肃省兰州一中高三12月月考理科数学试卷2016届山西省康杰中学等校高三上学期第二次联考理科数学试卷2016届河北省衡水中学高三上学期七调考理科数学试卷2016届河北省冀州市中学高三上学期一轮复习一理科数学试卷2016届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷2016届安徽省六安一中高三下学期综合训练一理科数学试卷2016届安徽省合肥一中高三下学期冲刺模拟理科数学A卷2016届海南省农垦中学高三考前押题理科数学试卷2016届江西省上高二中高三考前热身理科数学试卷2016届吉林省白城一中高三下4月月考理科数学试卷2017届甘肃高台县一中高三理上学期检测五数学试卷山东省师大附中2017-2018学年高三第三次模拟考试数学(理)试题【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题【市级联考】四川省乐山市高中2019届第一次调查研究考试数学(理)试题专题08+概率与统计-2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化(已下线)一轮复习总测(A卷 基础过关检查)-2021年高考数学一轮复习单元滚动双测卷(新高考地区专用)四川省成都市蒲江县蒲江中学2020年高三上学期11月月考数学(理)试题2017届甘肃省高台县第一中学高三上学期期末考试理数学试卷2015-2016学年湖南长郡中学高二下第一次检测理数学卷江西省新余市第四中学2017-2018学年高二下学期开学考试数学(理)试题宁夏石嘴山市第三中学2015-2016学年高二下学期期中数学(理)试题
10 . 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标;它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标,是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时,表明消费者信心处于强信心区;指数等于100时,表示消费者信心处于强弱临界点;指数小于100时,表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1:
记2016年至2019年年份序号为,该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y,x与y的关系如下表2:
(1)该城市在2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个,求2018年的消费者信心指数不小于2017年的消费者信心指数的概率;
(2)根据表2得到线性回归方程为:,求的值,并预报该城市2020年消费者信心指数的年平均值.
(3)根据表2计算的相关系数r(保留两位小数),并判断是否正相关很强.
参考数据和公式:;;;;;;当时,y与x正相关很强.
2016年 | 2017年 | 2018年 | 2019年 | |
第一季度 | 104.50 | 111.70 | 118.50 | 119.30 |
第二季度 | 104.00 | 110.20 | 114.60 | 118.20 |
第三季度 | 105.50 | 114.20 | 110.20 | 118.10 |
第四季度 | 106.80 | 113.20 | 113.20 | 119.30 |
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 |
消费者信心指数年均值y | 105 | 112 | 114 | 119 |
(2)根据表2得到线性回归方程为:,求的值,并预报该城市2020年消费者信心指数的年平均值.
(3)根据表2计算的相关系数r(保留两位小数),并判断是否正相关很强.
参考数据和公式:;;;;;;当时,y与x正相关很强.
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