解题方法
1 . 随着移动互联网和直播带货技术的发展,直播带货已经成为一种热门的销售方式,特别是商家通过展示产品,使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据,得到如图所示的散点图.其中6月份至10月份相应的代码为,如:表示6月份.(1)根据散点图判断,模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)(i)根据(1)的判断结果,建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
(ⅱ)根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:, ,,其中.
(2)(i)根据(1)的判断结果,建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
(ⅱ)根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:, ,,其中.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 近年来,随着国家对新能源汽车产业的支持,很多国产新能源汽车迅速崛起,其因颜值高、动力充沛、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧,但是充电难成为影响新能源汽车销量的主要原因,国家为了加快新能源汽车的普及程度,在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示:
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明(结果精确到0.001);
(2)求y关于x的线性回归方程,预测当该地区充电桩数量为24万台时,新能源汽车的年销量是多少万辆?
参考公式:相关系数,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
参考数据:,,,.
年份 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
充电桩数量x/万台 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
新能源汽车年销量y/万辆 | 25 | 37 | 48 | 58 | 72 |
(2)求y关于x的线性回归方程,预测当该地区充电桩数量为24万台时,新能源汽车的年销量是多少万辆?
参考公式:相关系数,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
参考数据:,,,.
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2024·全国·模拟预测
3 . 20世纪80年代初,随着我国的改革开放,经济体制和经营体制逐渐灵活,市场上的商品日益丰富,城市和农村出现小卖部.小卖部主营生活日用商品,有着经营成本小、规模小、商品种类少、分布广等特点.近几年,市场商品极大的丰富,人们的生活水平达到了新的高度,实体小卖部逐渐被应运而生的大小超市所取代.为适应市场,某小卖部经营者欲将经营规模扩大,将小卖部发展成生鲜综合超市,现将2013~2022年的年利润(单位:万元)统计如下:
其中,1表示2013年,2表示2014年,3表示2015年,……,以此类推,10表示2022年.
(1)若年利润(单位:万元)与小卖部营业年限成正相关关系,在不改变经营状态的情况下,预测该小卖部2023年的年利润.(结果保留两位小数)
(2)该小卖部经营者从2013~2022年中年利润不低于12万元的年限里随机抽取3个,记这3个年限中年利润超过14万元的有个,求的分布列和期望.
附:线性回归方程中,,,其中为样本均值.
年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年利润(万元) | 2 | 8 | 9 | 12 | 10 | 13 | 15 | 16 | 17 | 18 |
(1)若年利润(单位:万元)与小卖部营业年限成正相关关系,在不改变经营状态的情况下,预测该小卖部2023年的年利润.(结果保留两位小数)
(2)该小卖部经营者从2013~2022年中年利润不低于12万元的年限里随机抽取3个,记这3个年限中年利润超过14万元的有个,求的分布列和期望.
附:线性回归方程中,,,其中为样本均值.
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4 . 比亚迪,这个中国品牌的乘用车,如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地.这一成就是中国新能源汽车行业的里程碑,标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国.现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据.
(1)通过调查研究发现,其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等,影响了该款汽车的月销量,现将残差过大的数据剔除掉,得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量y(单位:万辆)和月份编号x的成对样本数据统计.
请用样本相关系数说明y与x之间的关系可否用一元线性回归模型拟合?若能,求出y关于x的经验回归方程;若不能,请说明理由.(运算过程及结果均精确到0.01,若,则线性相关程度很高,可用一元线性回归模型拟合)
(2)为迎接2024新春佳节,某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中,店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖,已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.
①从这50个模型中随机取1个,用A表示事件“取出的模型外观为红色”,用B表示事件“取出的模型内饰为米色”,求和,并判断事件A与B是否相互独立;
②活动规定:在一次抽奖中,每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设:假设1:拿到的2个模型会出现3种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高.假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的期望(精确到元).
参考公式:样本相关系数,
,.
参考数据:,.
(1)通过调查研究发现,其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等,影响了该款汽车的月销量,现将残差过大的数据剔除掉,得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量y(单位:万辆)和月份编号x的成对样本数据统计.
月份 | 2022年8月 | 2022年9月 | 2022年12月 | 2023年1月 | 2023年2月 | 2023年3月 | 2023年4月 | 2023年6月 | 2023年7月 | 2023年8月 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
月销量(单位:万辆) | 4.25 | 4.59 | 4.99 | 3.56 | 3.72 | 3.01 | 2.46 | 2.72 | 3.02 | 3.28 |
(2)为迎接2024新春佳节,某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中,店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖,已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.
红色外观 | 蓝色外观 | |
棕色内饰 | 20 | 10 |
米色内饰 | 15 | 5 |
②活动规定:在一次抽奖中,每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设:假设1:拿到的2个模型会出现3种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高.假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的期望(精确到元).
参考公式:样本相关系数,
,.
参考数据:,.
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5 . 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数,得到下表:
(1)从这9天的数据中任选4天的数据,以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数,求的分布列和数学期望;
(2)由于统计人员的疏忽,第5天的数据统计有误,如果去掉第5天的数据,试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
(参考数据:
,
附:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:).
时间(天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
每天普及的人数y | 80 | 98 | 129 | 150 | 203 | 190 | 258 | 292 | 310 |
(2)由于统计人员的疏忽,第5天的数据统计有误,如果去掉第5天的数据,试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
(参考数据:
,
附:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:).
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名校
解题方法
6 . 某运动服饰公司对产品研发的年投资额(单位:十万元)与年销售量(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表:
(1)求和的样本相关系数(精确到0.01),并推断和的线性相关程度;(若,则线性相关程度很强;若,则线性相关程度一般;若,则线性相关程度很弱)
(2)求年销售量关于年投资额的回归直线方程,并据此预测年投资额为60万元时的年销售量.
参考数据:.
参考公式:相关系数;
回归直线方程中,.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
35 | 40 | 50 | 55 | 70 |
(2)求年销售量关于年投资额的回归直线方程,并据此预测年投资额为60万元时的年销售量.
参考数据:.
参考公式:相关系数;
回归直线方程中,.
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名校
解题方法
7 . 某地区2019年至2023年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)由表可知与具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入;
(3)用(1)中所求线性回归方程得到与对应的人均纯收入预测值,当数据对应残差的绝对值时,将该数据称作一个“好数据”,经过计算统计得到这5个数据中“好数据”有2个,不是“好数据”的有3个,现从5个数据中任选3个,求恰好有两个“好数据”的概率.
附:参考数据及公式:.
年份 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均纯收入 | 2.3 | 3.3 | 4.1 | 4.4 | 4.9 |
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入;
(3)用(1)中所求线性回归方程得到与对应的人均纯收入预测值,当数据对应残差的绝对值时,将该数据称作一个“好数据”,经过计算统计得到这5个数据中“好数据”有2个,不是“好数据”的有3个,现从5个数据中任选3个,求恰好有两个“好数据”的概率.
附:参考数据及公式:.
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名校
8 . 近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放,为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量x(单位;千辆)与年使用人次y(单位:千次)的数据如下表所示,根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.
拟用模型① 或模型② 对两个变量的关系进行拟合,令,可得
,,,,,变量y与t的标准差分别为,.
(1)根据所给的统计量,求模型② 中y关于x的回归方程;(结果保留小数点后两位)
(2)计算并比较两种模型的相关系数r(结果保留小数点后三位),求哪种模型预测值精度更高、更可靠;
(3)已知每辆单车的购入成本为200元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元,按用户每使用一次,收费1元计算,若投入8000辆单车,利用(2)中更可靠的模型,预测几年后开始实现盈利.(结果保留整数)
附,样本点的线性回归方程最小二乘估计公式为,,相关系数
参考数据:.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 5 | 16 | 28 | 38 | 64 | 108 | 196 |
,,,,,变量y与t的标准差分别为,.
(1)根据所给的统计量,求模型② 中y关于x的回归方程;(结果保留小数点后两位)
(2)计算并比较两种模型的相关系数r(结果保留小数点后三位),求哪种模型预测值精度更高、更可靠;
(3)已知每辆单车的购入成本为200元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元,按用户每使用一次,收费1元计算,若投入8000辆单车,利用(2)中更可靠的模型,预测几年后开始实现盈利.(结果保留整数)
附,样本点的线性回归方程最小二乘估计公式为,,相关系数
参考数据:.
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2024·全国·模拟预测
9 . 为了保存学习资料,某位老师注册了网盘账号,根据平时存储资料的情况,得到了存储文件个数与占用网盘空间(单位:GB)的数据如下:
(1)若与有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
存储文件个数 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
占用网盘空间 | 1.5 | 2.5 | 4 | 6 | 8.5 |
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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10 . 某企业响应国家“强芯固基”号召,为汇聚科研力量,准备科学合理增加研发资金.为
了解研发资金的投入额x(单位:千万元)对年收入的附加额y(单位:千万元)的影响,对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下:
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于,则称对应的年份为“优”,从上面的7个年份中任意取3个,记X表示这三个年份为“优”的个数,求X的分布列及数学期望.
参考数据:,,.
附:回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
了解研发资金的投入额x(单位:千万元)对年收入的附加额y(单位:千万元)的影响,对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下:
年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
投入额 | 10 | 30 | 40 | 60 | 80 | 90 | 110 |
年收入的附加额 | 7.30 |
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于,则称对应的年份为“优”,从上面的7个年份中任意取3个,记X表示这三个年份为“优”的个数,求X的分布列及数学期望.
参考数据:,,.
附:回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
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