名校
解题方法
1 . 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
(1)求数学成绩
与学习时间
的相关系数（精确到0.001）；
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：
，
的方差为200）；
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到
列联表（表二）.依据表中数据及小概率值
的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
附：方差：
相关系数：
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
，
.
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
学习时间x | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
数学成绩y | 65 | 78 | 85 | 99 | 108 |
与学习时间的相关系数（精确到0.001）；(2)请用相关系数说明该组数据中
与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）；(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到
列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.没有进步 | 有进步 | 合计 | |
参与周末在校自主学习 | 35 | 130 | 165 |
未参与周末不在校自主学习 | 25 | 30 | 55 |
合计 | 60 | 160 | 220 |
相关系数：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2024-09-05更新
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294次组卷
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7卷引用：江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期第七次考试（5月）数学试题
2024高三·全国·专题练习
名校
2 . 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一
名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为
，选择历史类男女比例为
．
完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
附：
．
名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为．
| 男生 | 女生 | 合计 | |
| 物理类 | |||
| 历史类 | |||
| 合计 | 1000 |
附：
． | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2024-09-04更新
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82次组卷
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3卷引用：江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2025届高三上学期9月第一次考试数学试题
江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2025届高三上学期9月第一次考试数学试题（已下线）模型10 独立性检验问题模型（第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ）陕西省西安市临潼区2023-2024学年高二下学期期末数学试题
名校
解题方法
3 . 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为
；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为
；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为
.
（i）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ii）求第
天他去甲餐厅用餐的概率
.
附：
；
性别 | 就餐区域 | 合计 | |
南区 | 北区 | ||
男 |
|
|
|
女 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为
；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
（ii）求第
天他去甲餐厅用餐的概率.附：
；
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2024-08-28更新
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286次组卷
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3卷引用：江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期5月综合练习数学试卷
名校
4 . 某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.
(2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为
，来自乙生产的概率为
），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.
附：
，
.
列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.甲 | 乙 | 总和 | |
合格 | |||
不合格 | |||
总和 | 15 | 15 | 30 |
(2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为
，来自乙生产的概率为），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.附：
，.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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5 . 设研究某两个属性变量时，作出零假设
并得到2×2列联表，计算得
，则下列说法正确的是（ ）
并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（ ）| A．有99.5%的把握认为不成立 | B．有5%的把握认为的反面正确 |
| C．有95%的把握判断正确 | D．有95%的把握能反驳 |
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名校
6 . 某学校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合每日统计的运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：
(1)完善列联表并说明：是否有
的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
(2)从全校“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将特训的人中男生人数记为
，求的分布列与均值
.
参考公式：
运动达人 | 参与者 | 合计 | |
男生 | 70 | ||
女生 | 80 | ||
合计 | 80 | 200 |
列联表并说明：是否有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？(2)从全校“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将特训的人中男生人数记为
，求的分布列与均值.参考公式：
|
|
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|
|
|
| 10.828 |
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名校
解题方法
7 . 由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：
.
(1)建立y关于x的回归模型
，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（
精确到0.1，
精确到1）；
(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，；
| 飞行距离x（km） | 56 | 63 | 71 | 79 | 90 | 102 | 110 | 117 |
| 损坏零件数y（个） | 61 | 73 | 90 | 105 | 119 | 136 | 149 | 163 |
.(1)建立y关于x的回归模型
，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？| 保养 | 未保养 | 合计 | |
| 报废 | 20 | ||
| 未报废 | |||
| 合计 | 60 | 100 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； | 0.25 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 |
 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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名校
8 . 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
(1)判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
(2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：
，其中．
使用智能辅导系统 | 未使用智能辅导系统 | 合计 | |
入学测试成绩优秀 | 20 | 20 | 40 |
入学测试成绩不优秀 | 40 | 20 | 60 |
合计 | 60 | 40 | 100 |
(2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为
，求的分布列及数学期望．附：
，其中．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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2024-08-06更新
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412次组卷
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4卷引用：江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期暑期检测数学试题
9 . 为了解学生参加公益劳动的情况，随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(2)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列2×2列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关；
(3)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望．
附：，
，
．
(2)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列2×2列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关；
公益劳动时间长 | 公益劳动时间短 | 合计 | |
男 | 100 | ||
女 | 120 | ||
合计 |
(3)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望．附：
，，．
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10 . “每天跑步一小时，幸福生活一辈子.”青华中学工会为了解师生员工的爱好慢跑是否与性别有关，从学校随机抽取100名老师男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：
(1)请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；
(2)若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：
参考公式：，其中.
| 男性 | 女性 | 总计 | |
| 爱好 | 30 | ||
| 不爱好 | 10 | ||
| 总计 | 100 |
的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；(2)若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为
，求的分布列､数学期望.附： | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中.
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