2023·全国·模拟预测
名校
1 . 冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表
．
(1)当
时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为
，求的分布列与数学期望．
(2)定义
，其中
为列联表中第
行第
列的实际数据，
为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如
，
．基于小概率值
的检验规则：首先提出零假设
（变量X，Y相互独立），然后计算
的值，当
时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：
①当时，依据小概率值
的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？
②当
时，依据小概率值
的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？
附：
．| 喜爱 | 不喜爱 | |
| 男生 |  |  |
| 女生 |  |  |
时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望．(2)定义
，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：①当
时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？②当
时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：
| 0.1 | 0.025 | 0.005 |
 | 2.706 | 5.024 | 7.879 |
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名校
2 . 某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有
列联表：
(1)根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；
(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.
附：
，
.
列联表：有蛀牙 | 无蛀牙 | 总计 | |
爱吃甜食 | |||
不爱吃甜食 | |||
总计 |
列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.
附：
，.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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2023-03-24更新
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560次组卷
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3卷引用：专题10 计数原理与概率统计（理科）
3 . 某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
(1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值
的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
(2)假设该校高一所有学生中有
的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为
，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为
．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用
表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量的均值
．
附：
思想政治 | 地理 | 化学 | 生物 | |
物理类 | 100 | 120 | 200 | 180 |
历史类 | 120 | 140 | 60 | 80 |
列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．科类 | 生物学科选法 | ||
选 | 不选 | 合计 | |
物理类 | |||
历史类 | |||
合计 | |||
的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量的均值．附：
| 0.1 | 0.05 | 0.001 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-03-24更新
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1483次组卷
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3卷引用：专题11成对数据的统计分析
名校
4 . 2023年2月15日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件．”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论．某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷．为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份．被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”．研究结果如下表所示：
(1)为了研究校内人员身份（学生/教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组．试问，我们是否有
的把握认为，校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？
(2)如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率．
参考公式：．
支持政策 | 反对政策 | 有条件地支持 | 合计 | |
学生 | 30 | 5 | 5 | 40 |
教职工 | 20 | 45 | 25 | 90 |
家长 | 15 | 8 | 7 | 30 |
合计 | 65 | 58 | 37 | 160 |
的把握认为，校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？(2)如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率．
参考公式：
．
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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2023-03-23更新
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367次组卷
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3卷引用：江西省九所重点中学2023届高三第二次联考联合考试数学（文）试题变式题16-20
（已下线）江西省九所重点中学2023届高三第二次联考联合考试数学（文）试题变式题16-20四川省成都市第七中学2023届高三下学期二诊模拟测试数学（文）试题四川省宜宾市叙州区第一中学校2023届高三三诊模拟数学（文）试题
名校
解题方法
5 . 某中学为了丰富学生的课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:
(1)若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
(2)根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．
附:
．
厨艺探秘 | 盆景栽培 | 家庭摄影 | 名画鉴赏 | |
文科1班 | 11 | 5 | 14 | 6 |
文科2班 | 12 | 7 | 11 | 4 |
理科1班 | 3 | 1 | 9 | 3 |
理科2班 | 5 | 1 | 6 | 2 |
报名班型 | 课程 | 合计 | |
“劳育课程” | “美育课程” | ||
文科班 | |||
理科班 | |||
合计 | |||
附:
．
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.0100 | 0.005 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.6357 | 7.879 |
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2023-03-22更新
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1166次组卷
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6卷引用：专题17计数原理与概率统计（解答题）
（已下线）专题17计数原理与概率统计（解答题）（已下线）专题17计数原理与概率统计(解答题)四川省成都市2023届高三第二次诊断性检测文科数学试题四川省成都市2023届高三下学期第二次诊断考试数学（理）试题辽宁省沈阳市第二十中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学（理）试题
2023·全国·模拟预测
6 . 第五届中国国际进口博览会（以下简称进博会）于2022年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办．本届进博会共有284家世界500强和行业龙头企业参展，数量超过上届，其中至少参展过两届及以上进博会的企业占比约为90%．本届进博会首次运用虚拟现实、三维建模等新技术手段，引入了全新的线上展示技术，为参观者带来不同以往的观展体验．活动结束后，进博会组委会从参观者中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全新的线上展示活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的列联表：
(1)根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全新的线上展示活动是否满意与年龄有关联？
(2)从本届参展的284家世界500强和行业龙头企业中随机抽取3家了解他们对组委会的组织工作的满意度，设其中至少参展过两届及以上进博会的企业的个数为，若以本届参展的世界500强和行业龙头企业中至少参展过两届及以上进博会的企业的频率为概率．
①求的分布列和数学期望；
②求
．
参考公式及数据：，其中．
列联表：不满意 | 满意 | 总计 | |
50周岁及以下 | 55 | ||
50周岁以上 | 15 | ||
总计 | 100 |
列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全新的线上展示活动是否满意与年龄有关联？(2)从本届参展的284家世界500强和行业龙头企业中随机抽取3家了解他们对组委会的组织工作的满意度，设其中至少参展过两届及以上进博会的企业的个数为
，若以本届参展的世界500强和行业龙头企业中至少参展过两届及以上进博会的企业的频率为概率．①求
的分布列和数学期望；②求
．参考公式及数据：
，其中．
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2023高二·全国·专题练习
7 . 列联表与独立性检验
(1)分类变量与列联表
①分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为________ .
②列联表:一般地,假设两个分类变量和
,它们的取值为
,其样本频数列联表(也称为列联表)为
(2)等高堆积条形图
等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果.
(3)独立性检验
①
计算公式:
，其中.
②临界值的定义:对于任何小概率值,可以找到相应的正实数，使得
成立,我们称为的临界值,概率值越小,临界值________ .
③独立性检验:
,通常称为________ 或________ .基于小概率值的检验规则是:当
时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过;当
时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为________ ,读作“卡方独立性检验”,简称________ .
④临界值表
(1)分类变量与列联表
①分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为
②
列联表:一般地,假设两个分类变量和,它们的取值为,其样本频数列联表(也称为列联表)为
|
| 合计 | |
|
| ||
|
|
| |
|
|
| |
合计 |  | ||
等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果.
(3)独立性检验
①
计算公式:，其中.②临界值的定义:对于任何小概率值
,可以找到相应的正实数，使得成立,我们称为的临界值,概率值越小,临界值③独立性检验:
,通常称为的检验规则是:当时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过;当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为④临界值表
| 0. 1 | 0. 05 | 0. 01 | 0. 005 | 0. 001 |
| 2. 706 | 3. 841 | 6. 635 | 7. 879 | 10. 828 |
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8 . 某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算
，则可以推断出（ ）
经计算
，则可以推断出（ ）| A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 |
| B．该学校男生比女生更经常锻炼 |
| C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 |
| D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 |
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名校
9 . 下列命题中为真命题的是（ ）
| A．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0． |
B．一组数按照从小到大排列后为： ， ，…， ，计算得： ，则这组数的25%分位数是 ． |
| C．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差． |
| D．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误． |
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名校
10 . 随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：
已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为
．
(1)请将下列2×2列联表补充完整．
能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．
(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为
．(1)请将下列2×2列联表补充完整．
预订旅游 | 不预订旅游 | 合计 | |
19-35岁 | |||
18岁以下及36岁以上 | |||
合计 |
(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．
附：
，其中．
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-03-04更新
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1754次组卷
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9卷引用：第八章 成对数据的统计分析 讲核心 02
（已下线）第八章 成对数据的统计分析 讲核心 02（已下线）广东省汕头市2023届高三第一次模拟数学试题变式题17-22（已下线）专题17计数原理与概率统计（解答题）（已下线）专题11成对数据的统计分析专题24计数原理与概率与统计（解答题）江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题辽宁省铁岭市清河高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题河南省南阳市六校2022-2023年学年高二下学期第一次联考数学试题河北省秦皇岛市部分学校2023届高三二模联考数学试题
