解题方法
1 . 为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康观念,手机APP也推出了多款健康运动软件.某运动品牌公司280名员工均使用一款健康运动软件记录运动步数,且公司每月进行一次评比,对该月内每日运动都达到10 000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号,其余员工均称为“参与者”.为了进一步了解员工们的运动情况,选取了员工们在3月份的运动数据进行分析,统计结果如下:单位:人
(1)求列联表中a,b,c,d,e的值.
(2)根据小概率值的独立性检验,能否认为是否获得“运动达人”称号与性别有关联?
参考公式:,其中临界值表:
性别 | 称号 | 合计 | |
运动达人 | 参与者 | ||
男 | 120 | a | 160 |
女 | b | 40 | c |
合计 | d | e | 280 |
(2)根据小概率值的独立性检验,能否认为是否获得“运动达人”称号与性别有关联?
参考公式:,其中临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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2 . 某科研机构分别用A,B两种人工智能大模型进行对比研究,检验这两种大模型在答题时哪种更可靠.从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答,其中A人工智能大模型回答100个问题,有90个正确;B人工智能大模型回答剩下的80个问题;有65个正确.
(1)完成下列列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关?
(2)将频率视为概率,用A人工智能大模型回答该知识领域的3道题目,且各题回答正确与否,相互之间没有影响,设回答题目正确的个数为X,求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据:,.
(1)完成下列列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关?
回答正确 | 回答错误 | 合计 | |
A人工智能大模型 | |||
B人工智能大模型 | |||
合计 |
参考公式及数据:,.
a | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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3 . 为了提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响,为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表:
附:χ2=,n=a+b+c+d.
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的,女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的,则下列说法正确的是( )
性别 | 体育锻炼 | 合计 | |
喜欢 | 不喜欢 | ||
男生 | 280 | q | 280+q |
女生 | p | 120 | 120+p |
合计 | 280+p | 120+q | 400+p+q |
α | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
xα | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
A.列联表中q的值为120,p的值为180 |
B.随机对一名学生进行调查,此学生有90%的可能喜欢体育锻炼 |
C.根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系,此推断犯错误的概率不超过0.01 |
D.根据小概率值α=0.001的独立性检验,认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关 |
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解题方法
4 . 某单位拟实行新的员工考勤管理方案.方案起草后,为了解员工对新方案是否满意,随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查,结果如下:300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意,其中男3人,女12人.
(1)完成如下列联表:
单位:人
根据的独立性检验,能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联?
(2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答,消除被调查者对于敏感问题的顾虑,决定调整调查方案.新的调查方案中使用两个问题:
①你公历生日是奇数吗?②你对新考勤管理方案是否满意?
先让被调查者从装有4个红球,6个黑球(除颜色外,完全相同)的袋子中随机摸取两个球(摸出的球再放回袋中).摸到两球同色的员工如实回答第一个问题,摸到两球异色的员工如实回答第二个问题.问卷上没有问题,答题者只需选择“是”或者“否”.由于回答的是哪个问题是别人不知道的,因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答.
(i)根据以上调查方案,求某个被调查者回答第一个问题的概率;
(ii)如果300人中共有206人回答“是”,请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.(每个员工公历生日是奇数的概率取为)
附:.
(1)完成如下列联表:
单位:人
性别 | 满意 | 合计 | |
是 | 否 | ||
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答,消除被调查者对于敏感问题的顾虑,决定调整调查方案.新的调查方案中使用两个问题:
①你公历生日是奇数吗?②你对新考勤管理方案是否满意?
先让被调查者从装有4个红球,6个黑球(除颜色外,完全相同)的袋子中随机摸取两个球(摸出的球再放回袋中).摸到两球同色的员工如实回答第一个问题,摸到两球异色的员工如实回答第二个问题.问卷上没有问题,答题者只需选择“是”或者“否”.由于回答的是哪个问题是别人不知道的,因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答.
(i)根据以上调查方案,求某个被调查者回答第一个问题的概率;
(ii)如果300人中共有206人回答“是”,请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.(每个员工公历生日是奇数的概率取为)
附:.
0.05 | 0.025 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 7.879 |
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解题方法
5 . “源·韵——西藏传统服饰活态展示系列活动”圆满举办.西藏博物馆为充分发挥阵地优势,传承弘扬中华优秀传统文化、促进各民族交往交流交融、培育引领各族人民文化生活新风尚,在2023年雪顿节前推出“源· 韵—— 西藏传统服饰活态展示活动”,与观众一起感受传统文化的雅韵,为游客提供“正本清源”的西藏民俗活态体验.其中“西藏服饰文化”项目火爆“出圈”,倍受广大游客喜爱,为了解藏服体验店广告支出和销售额之间的关系,在八廓街附近抽取7家藏服体验店,得到了广告支出与销售额数据如下:
对进入G体验店的200名游客进行统计得知,其中女性游客有140人,女性游客中体验藏服的有90人,男性游客中没有体验藏服的有40人.
(1)请将下列2×2列联表补充完整,依据小概率值的独立性检验,能否认为体验藏服与性别有关联;
(2)设广告支出为变量(万元),销售额为变量(万元),根据统计数据计算相关系数,并据此说明可用线性回归模型拟合的关系(若,则线性相关程度很强,可用线性回归模型拟合);
(3)建立的经验回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额(精确到0.1).
附:参考数据及公式:,,,,,, 相关系数,
在线性回归方程中中,,.
,.
体验店 | A | B | C | D | E | F | G |
广告支出/万元 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售额/万元 | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | 15 | 16 |
(1)请将下列2×2列联表补充完整,依据小概率值的独立性检验,能否认为体验藏服与性别有关联;
性别 | 是否体验藏服 | 合计 | |
体验藏服 | 没有体验藏服 | ||
女 | 90 | 140 | |
男 | 40 | ||
合计 | 200 |
(3)建立的经验回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额(精确到0.1).
附:参考数据及公式:,,,,,, 相关系数,
在线性回归方程中中,,.
,.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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6 . 为了进一步推动智慧课堂的普及和应用,市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查,统计数据如表:
从城市学校中任选一个学校,偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全列联表,根据小概率值的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关;
(2)在经常应用智慧课堂的学校中,按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析,然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实,记其中农村学校有个,求的分布列和数学期望.
附:
经常应用 | 偶尔应用或者不应用 | 总计 | |
农村 | |||
城市 | |||
总计 |
(1)补全列联表,根据小概率值的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关;
(2)在经常应用智慧课堂的学校中,按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析,然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实,记其中农村学校有个,求的分布列和数学期望.
附:
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7 . 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研,从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分,每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,各评分的相应人数统计结果如下表所示.
(1)求这四款车得分的平均数;
(2)约定当得分不小于4时,认为该款车型性能优秀,否则认为性能一般,根据上述样本数据,完成以下列联表,取显著性水平,能否认为汽车的性能与款式有关?说明理由.
附:.
评分 款式 | 1分 | 2分 | 3分 | 4分 | 5分 | |
基础版 | 基础版1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 0 |
基础版2 | 4 | 4 | 5 | 3 | 1 | |
豪华版 | 豪华版1 | 1 | 3 | 5 | 4 | 1 |
豪华版2 | 0 | 0 | 3 | 5 | 3 |
(2)约定当得分不小于4时,认为该款车型性能优秀,否则认为性能一般,根据上述样本数据,完成以下列联表,取显著性水平,能否认为汽车的性能与款式有关?说明理由.
款式 性能 | 基础版 | 豪华版 | 合计 |
一般 | |||
优秀 | |||
合计 |
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8 . 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱.采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查,得到如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿55名,其中未治愈10名;抽到接受乙种疗法的患儿45名,其中治愈30名.
(1)请补全如下列联表,并根据小概率值的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
(2)从接受乙种疗法的患儿中,按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人,再从这6人中随机抽取3人,求这3人中未治愈人数的分布列及期望;
附:
(1)请补全如下列联表,并根据小概率值的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
疗法 | 疗效 | 合计 | |
未治愈 | 治愈 | ||
甲 | |||
乙 | |||
合计 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
9 . 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯,升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜,广泛应用于冬装衣服.现在有材料、材料可供选择,研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图.(1)根据等高堆积条形图,完成如下列联表,并依据小概率值的独立性检验,分析试验结果与材料是否有关:
(2)定义分类变量,如下:,,以频率估计概率,求条件概率和的值.
附:,其中.
材料 | 材料 | 合计 | |
试验成功(单位:次) | |||
试验失败(单位:次) | |||
合计 |
(2)定义分类变量,如下:,,以频率估计概率,求条件概率和的值.
附:,其中.
0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
10 . 我国为了鼓励新能源汽车的发展,推行了许多购车优惠政策,包括:国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等.为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关,调查组对400名不同年龄段(19岁以上)的车主进行了问卷调查,其中有200名车主偏好新能源汽车,这200名车主中各年龄段所占百分比见下图:在所有被调查车主中随机抽取1人,抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为.
(1)请将下列2×2列联表直接补充完整.
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为偏好新能源汽车与年龄有关?
(2)将上述调查中的频率视为概率,按照分层随机抽样方法,从偏好新能源汽车的车主中选取5人,再从这5人中任意取2人,求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率.
附:,其中.
(1)请将下列2×2列联表直接补充完整.
偏好新能源汽车 | 偏好燃油车 | 合计 | |
19~35岁 | |||
35岁以上 | |||
合计 |
(2)将上述调查中的频率视为概率,按照分层随机抽样方法,从偏好新能源汽车的车主中选取5人,再从这5人中任意取2人,求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率.
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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