1 . 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．

2 . 已知表示数，其中数列单调递增，且为正整数．当时，记所有满足条件的的个数为当时，______；当时，______．

3 . 从数据组中取出个不同的数构成一个新数据组：．若，，，使得，，则称数据组为数据组的一个k维基本数据库.
(1)判断数据组：是否为数据组：的一个2维基本数据库；
(2)判断数据组：是否为数据组：的一个3维基本数据库.
(3)若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：.

4 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
(1)证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．

5 . 下列选项中正确的有（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.

(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

7 . 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有个球，其中有4个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为1，2，3，，的纸盒内，其中第次取出的球放入编号为的纸盒．若编号为1，2，3，4的纸盒中有4个黑球，则获得优惠券10000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有3个黑球，则获得优惠券5000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有2个黑球，则获得优惠券1000元；其他情况不获得优惠券．
(1)已知，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率；
(2)设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：的期望小于．

8 . 已知集合，记集合的元素个数为.当时，__________（用数字表示）；当（且）时，__________.（用含有的式子表示）.

9 . 图是一个 11阶的杨辉三角：

(1)求第22行中从左到右的第3 个数；
(2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5?若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由.
(3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，，

10 . 下列结论正确的是（       ）

A．，则

B．

C．的展开式的第6项的系数是

D．的展开式中的系数为