练习题及答案-2024年高中数学-组卷网

2018·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65) |

计算古典概型问题的概率

真题名校

1 . 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．

B．

C．

D．

2018-06-09更新 | 30374次组卷 | 91卷引用：单元测试B卷——第十章?概率

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2023·湖北·二模

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用组合数公式证明计算古典概型问题的概率求离散型随机变量的均值利用全概率公式求概率

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

2 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为

步，求

的分布列和期望；
(2)记

为设定机器人一共行走

步时游戏胜利的概率，求

，并判断当

为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将

个0和

个1排成一排，若对任意的

，在前

个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有

种，其中，

的结果被称为卡特兰数.若记

为设定机器人行走

步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的

，有

2023-05-02更新 | 3145次组卷 | 10卷引用：微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选

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2024·江西·一模

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

判断集合的子集（真子集）的个数二项式的系数和计算古典概型问题的概率数列新定义

名校

3 . 斐波那契数列

，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

且

中，则B中所有元素之和为奇数的概率为____．

2024-02-27更新 | 1896次组卷 | 8卷引用：江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题

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22-23高三下·湖南长沙·阶段练习

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

利用导数研究函数的零点计算古典概型问题的概率建立二项分布模型解决实际问题求离散型随机变量的均值

名校

4 . 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为

，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为

，请判断是否存在唯一的

值

，使得

？并说明理由．

2023-02-14更新 | 1652次组卷 | 6卷引用：模型7 二项分布与函数问题模型（第9章计数原理、概率、随机变量及其分布）

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22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习

多选题 | 较难(0.4) |

累加法求数列通项由递推关系证明等比数列分步乘法计数原理及简单应用计算古典概型问题的概率

名校

解题方法

累加法求数列通项定义法判断等比数列

5 . 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有

封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为

.例如两封信都投错有

种方法，三封信都投错有

种方法，通过推理可得：

.高等数学给出了泰勒公式：

，则下列说法正确的是（）

A．	B．为等比数列
C．	D．信封均被投错的概率大于

2023-09-07更新 | 1309次组卷 | 8卷引用：考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员

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2024·陕西西安·模拟预测

单选题 | 容易(0.94) |

计算古典概型问题的概率

名校

6 . 中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为（）

A．

B．

C．

D．

2024-05-12更新 | 1262次组卷 | 4卷引用：陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学（文科）试题

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2022·湖南长沙·模拟预测

单选题 | 较易(0.85) |

实际问题中的组合计数问题计算古典概型问题的概率

名校

7 . 二十四节气歌是为了方便记忆我国古时历法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）

A．