2 . 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩，防护服、测温枪等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会赢得一片赞誉.我国某测温枪生产厂商在加大生产的同时，从严把好质量关.每把测温枪在出厂前都必须经过三道质检关卡，只有这三道质检关卡检测均合格，测温枪才可上市销售；若三道质检关卡检测均不合格，则测温枪报废；否则将测温枪发回生产车间返修（维修后直接出厂）.假定每一关卡检测合格的概率均为，且各关卡之间检测是否合格相互独立.
(1)求一把测温枪经过质检需返修的概率；
(2)已知该工厂的测温枪日产量是1000把.每道关卡检测所需费用均为10元，每把测温枪的返修费用为50元，每天检测和返修费用和的预算标准是7万元.
①若，求该工厂每天测温枪的返修费用的数学期望；
②现实施上述检测和返修方案，问：工厂每天检测和返修的费用是否会有可能超过预算标准？试说明理由.

6 . 甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为，乙队每局赢的概率为．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：
方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
(1)当时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为，讨论的大小关系；
(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

7 . 新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）

8 . 某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题道，至少有两道答对；
方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对.
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.
(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由.