20. 某地区为居民集体筛查新型传染病毒,需要核酸检测,现有
份样本,有以下两种检验方案,方案一,逐份检验,则需要检验
k次;方案二:混合检验,将
k份样本分别取样混合在一起检验一次,若检验结果为阴性,则
k份样本均为阴性,若检验结果为阳性,为了确定
k份样本的阳性样本,则对
k份本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元,且
k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中,每份样本是否为阳性是相互独立的,且据统计每份样本是阴性的概率为
.
(1)若
份样本采用混合检验方案,需要检验的总次数为
X,求
X分布列及数学期望;
(2)①若
,以检验总费用为决策依据,试说明该单位选择方案二的合理性;
②若
,采用方案二总费用的数学期望低于方案一,求
k的最大值.
参考数据: