1 . 在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数
的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外
人中的 
人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，易知
．
① 试证明：
为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较
与
的大小．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外
人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．① 试证明：
为等比数列；② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
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解题方法
2 . 流感病毒是一种RNA病毒，其遗传物质是RNA，它还有个蛋白质包膜，上面有各种突起.流感病毒大致分为甲型、乙型、丙型三种，分别能引起甲型流感、乙型流感和丙型流感，其中甲流病毒带来的危害最大.禽流感、猪流感、H7N9、H5N1等都是甲流病毒引起的.甲流病毒传染性最强，致死率最高.乙流病毒目前只有山形株和维多利亚株两种类型，传播性没有甲流病毒那么强，乙流危害性远不及甲流.丙流病毒传播比较少，发病率也比较低，只比普通感冒麻烦一点.某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品
和治疗甲流药品
，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2联联表：
(1)根据
的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率（保留一位有效数字），从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望.
附：
，
.
和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2联联表：| 预防药品 | 感染 | 未感染 | 合计 |
| 未使用 | 22 | 23 | 45 |
| 使用 | 16 | 39 | 55 |
| 合计 | 38 | 62 | 100 |
的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；(2)用频率估计概率（保留一位有效数字），从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品
对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望.附：
，. | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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3 . 某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：
的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求
和
.
附：
，其中.
的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？玩过网游 | 没玩过网游 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为
，求和.附：
，其中.
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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4 . 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.
(1)当
时，求
；
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望
和方差
均存在，则对任意正实数a，有
.根据该不等式可以对事件“
”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值.
(1)当
时，求；(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望
和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值.
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名校
5 . 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）
(1)依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；
(2)生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为
；首选历史，再选化学和地理的频率为
.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.
附
，.
男生 | 女生 | 合计 | |
历史类 | 15 | 25 | 40 |
物理类 | 35 | 25 | 60 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；(2)生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为
；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.附
，.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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6 . 现有一摸奖游戏，其规则如下：设置1号和2号两个保密箱，在1号保密箱内共放有6张卡片，其中有4张卡片上标有奇数数字，另外2张卡片上标有偶数数字；2号保密箱内共放有5张卡片，其中有3张卡片上标有奇数数字，另外2张卡片上标有偶数数字．摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内，待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后，再从2号保密箱内随机摸出一张卡片，即完成一次摸奖，如果摸奖者从1号保密箱和2号保密箱内摸出的卡片上的数字均为偶数即中奖．当上一个人摸奖结束后，需要将两保密箱内的卡片复原并搅拌均匀，下一个人才可摸奖，所有卡片的外观质地都相同．
(1)求摸奖者完成一次摸奖就中奖的概率；
(2)若有3人依次摸奖，且每人只完成一次摸奖，求这3人摸奖全部结束后中奖人数的分布列和数学期望；
(3)为了提高摸奖者的中奖概率，现将游戏规则修改为：摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内，待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后，再从2号保密箱内随机摸出一张卡片，如果摸奖者从2号保密箱内摸出的卡片上的数字为偶数即中奖．在修改游戏规则的同时，对1号和2号两个保密箱内的卡片重新进行调整：已知标有奇数、偶数的卡片各有7张，并且已在1号保密箱内放入了3张标有奇数的卡片，2号保密箱内放入了4张标有奇数的卡片，那么，应该如何放置7张标有偶数的卡片（每个保密箱中至少放入1张偶数卡片），才能使摸奖者完成一次摸奖的中奖概率最高？最高为多少？请说明理由．
(1)求摸奖者完成一次摸奖就中奖的概率；
(2)若有3人依次摸奖，且每人只完成一次摸奖，求这3人摸奖全部结束后中奖人数
的分布列和数学期望；(3)为了提高摸奖者的中奖概率，现将游戏规则修改为：摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内，待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后，再从2号保密箱内随机摸出一张卡片，如果摸奖者从2号保密箱内摸出的卡片上的数字为偶数即中奖．在修改游戏规则的同时，对1号和2号两个保密箱内的卡片重新进行调整：已知标有奇数、偶数的卡片各有7张，并且已在1号保密箱内放入了3张标有奇数的卡片，2号保密箱内放入了4张标有奇数的卡片，那么，应该如何放置7张标有偶数的卡片（每个保密箱中至少放入1张偶数卡片），才能使摸奖者完成一次摸奖的中奖概率最高？最高为多少？请说明理由．
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名校
7 . 国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
(1)根据以上数据，判断能否有99％的把握认为保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望
．
附：
，其中．
保护动物意识强 | 保护动物意识弱 | 合计 | |
男性 | 70 | 30 | 100 |
女性 | 40 | 60 | 100 |
合计 | 110 | 90 | 200 |
(1)根据以上数据，判断能否有99％的把握认为保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列和数学期望．附：
，其中．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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8 . 2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表：
(1)完成上述列联表；依据小概率值
的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；
(2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
，其中．
的样本，根据调查结果得到如下列联表：学生群体 | 关注度 | 合计 | |
关注 | 不关注 | ||
大学生 |
|
| |
高中生 | |||
合计 |
| ||
(1)完成上述列联表；依据小概率值
的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；(2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中．
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9 . “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过40周岁的游客和年龄不超过40周岁的游客各100人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．调查结果如下表．
(1)根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为游客对“村超”的满意度与年龄有关吗？
(2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对“村超”满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．
附：．
年龄 | 满意度 | 合计 | |
满意 | 不满意 | ||
不超过40周岁 | 60 | 40 | 100 |
超过40周岁 | 80 | 20 | 100 |
合计 | 140 | 60 | 200 |
(2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对“村超”满意的人数为
，求随机变量的分布列与数学期望．附：
．
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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10 . 某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点
的横坐标
，另一枚的点数记为点的纵坐标
，令事件
“
”，事件
“为奇数”.
(1)证明：事件
相互独立；
(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆
内的次数的分布列与期望.
的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”.(1)证明：事件
相互独立；(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点
在圆内的次数的分布列与期望.
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