1 . 2024年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动如下：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取3次．超市设计了两种抽奖方案．
方案一：若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券．
方案二：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖．
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
(2)若某顾客获得抽奖机会．
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？

2 . 为了解并普及人工智能相关知识、发展青少年科技创新能力，某中学开展了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类有若干道题），各类试题的分值及小明答对的概率如表所示，每道题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮，每轮回答一道题，依次进行，每轮得分之和即为参赛选手的总得分．

	甲类题	乙类题	丙类题
每题分值	10	20	40
每题答对概率

小明参加竞赛，有两种方案可以选择：
方案一：回答三道乙类题；
方案二：第一轮在甲类题中选择一道作答，若正确，则进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，进入第二轮答题，否则退出比赛；第二轮在丙类题中选择一道作答，若正确，则进入第三轮答题，否则退出比赛；第三轮在乙类题中选择一道作答．
(1)方案一中，在小明至少答对2道乙类题的条件下，求小明恰好答对2道乙类题的概率；
(2)为使总得分的数学期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．

3 . 新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．

5 . 相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图（年龄为整数），其中将会员按年龄分为“年轻人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
   
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？

	年轻人	非年轻人	合计
健身达人
健身爱好者
合计

(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.
方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.
方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.
如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.
附：.

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

7 . 新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.
(1)求X的数学期望；
(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？

9 . 某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.
(1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
(3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？

10 . 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款.根据2019年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如表：

	1	2	3	4	5
	75	84	93	98	100

(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到.
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率；
(3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率：，.