1 . 如图,将一个边长为
的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间这一段,如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线.将下面的图形依次记作![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6b4af5e2031dfa48ec4b9d0fcdc7a98f.png)
(1)求
的周长;
(2)求
所围成的面积;
(3)当
时,计算周长和面积的极限,说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6b4af5e2031dfa48ec4b9d0fcdc7a98f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/9/14/0fa60d42-f0cd-4eba-8dfd-6a3181ea0799.png?resizew=313)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ddad3d9fdb5e9951b6a1c31f9a72a71.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ddad3d9fdb5e9951b6a1c31f9a72a71.png)
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a107eb946e0fe41629c644b7628d5cba.png)
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23-24高二上·上海·课后作业
2 . 在平面上有如下命题:“若点
为直线
外的一点,则点
在直线
上的充要条件是:存在实数
、
满足
,且
.”类比此命题,给出空间某点在某一平面上的充要条件并加以证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1100379a4385b9ce064847bc21760adc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37dd0802f896556180545ae356e90c7a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6096acdd2d0ce16e1e45397ec5e365d4.png)
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3 . 如图,由
开始,作一系列的相似三角形,OA的长度是
.
(2)设
,
,
,如此类推,证明:
.
(3)用这个方法作更多的直角三角形,直至最后一个三角形的斜边OM与OA重合为止,求OM.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5b352fa3e781df195ceccca90c3932a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96a4fe52baabb3071d55134f157a6079.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea32ddf9fa4087e121d209f0792d46ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5e0a959cec22d164b15827e6a6c2ad31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a746fe7421122a76f5ff42ecd3d4127e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d1a72688efac22042640c0a96d4e74aa.png)
(3)用这个方法作更多的直角三角形,直至最后一个三角形的斜边OM与OA重合为止,求OM.
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4 . 设函数
对任意实数
、
都有
.
(1)求
的值;
(2)若
,求
、
、
的值;
(3)在(2)的条件下,猜想
(
为正整数)的表达式,并证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51c530f4b7491b95acb8ce3eef9aa09d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/761f71333341c1c9a495d50ce1e0689d.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f54b6a060d6c51a328341df76013bd89.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0f39001eda1eab65ca70a6cf924c28d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6e1a1611f320c0f358df77aaae3f942.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9cf59c5075f9e6fdf3782b6c0e528237.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54bd888bfb31bdd6cddc28e687304406.png)
(3)在(2)的条件下,猜想
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d4fc8faefb26b233d4aa9dbef043aae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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5 . 2023年2月22日,中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏,成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题,有
,
,
三根柱子,在
柱上放着由下向上逐渐变小的
个盘子,现要求把
柱上的盘子全部移到
柱上,且需遵循以下的移动规则:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/1/d4751208-a68e-4736-a4fb-05fb20c3b7d7.png?resizew=191)
①每次只能移动一个盘子;
②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面;
③移动过程中盘子可以放在
,
,
中任意一个柱子上.
若用
表示
个盘子时最小的移动次数,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/98396740a39a6a2e1fbaf5f0b1978ea9.png)
______ ,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/02cb4ec5b02c810fd3bb29f99d90d919.png)
______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/1/d4751208-a68e-4736-a4fb-05fb20c3b7d7.png?resizew=191)
①每次只能移动一个盘子;
②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面;
③移动过程中盘子可以放在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
若用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f2bf3a57d272f43de9f9108841183ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/98396740a39a6a2e1fbaf5f0b1978ea9.png)
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解题方法
6 . 我们知道,在平面中,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如点
在直线l上,
为直线l的一个方向向量,则直线l上任意一点
满足:
,化简可得
,即为直线l的方程.类似地,在空间中,给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面.
(1)若在空间直角坐标系中,
,请利用平面
的法向量求出平面
的方程;
(2)试写出平面
(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点
到平面
的距离为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1dab74e16403e8131f9f5b2a74f3a84.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f41c46212d6f61fca9ce215a477ea1d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdfc3eef2f592a4e93a6968c7f31e32f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e463b86ed390c317de2383840fde5df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a24f3197942ff7bd44f44651dd9123b2.png)
(1)若在空间直角坐标系中,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f3ad64b23e508734de034ce16e1ebbe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22ce50ba5e349425274f05d46d120a74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22ce50ba5e349425274f05d46d120a74.png)
(2)试写出平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a46e2fbcd9ba92ca62a67fef9d9652db.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab9f353152c7f589c0caf5f964f803ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/39f20004bf3d4eb52ec732d8acc65672.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8e878d6f51b5830bd59f0d44aa5d8b38.png)
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7 . 在第24届北京冬奥会开幕式上,一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空,畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程.若第1个图中的三角形的周长为1,记第n个图形的周长为
,
为数列
的前n项和,则
( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/11/6df7d01d-f096-4908-a54a-cb0aee725f2b.png?resizew=371)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96abfe2da27a63e6affb19a0c80236d9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0496f142d8ae5acb06e83526eaa3ef87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04c2864e2ec3416cc4c081ac1f71a0af.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/11/6df7d01d-f096-4908-a54a-cb0aee725f2b.png?resizew=371)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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2023-02-09更新
|
733次组卷
|
3卷引用:湖北省部分市州2022-2023学年高二上学期元月联考数学试题
8 . 对一切
,试比较
与
的大小.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/209591cfb9f8271f5ad48d89f214f22e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f31971306914638e5ceb1bbe437535d3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ceef1abeeef220b4fe5f7d96feedd90.png)
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名校
9 . 我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式
(“…”代表无限次重复)可以通过方程
来求得
,即
;类似上述过程及方法,则
的值为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff7b4f9f2d852bcc0dc74d0f112022f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6977b6bb77c43822da13161ab1e674bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93e48ad93f451e4fd2a2d9f0c30bb88a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b64593804f649b4717f3465d7b1dbad4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/77d5e1749a018ee1bd85307956ab3193.png)
A.![]() | B.![]() | C.7 | D.![]() |
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2022-11-26更新
|
918次组卷
|
7卷引用:陕西省西安建筑科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题
陕西省西安建筑科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题江苏省洪泽中学等六校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题辽宁省抚顺市第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(已下线)2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(分层练习)-高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第一册)广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高一上学期学科能力竞赛数学试题(已下线)第2章 等式与不等式-【高中数学课堂】单元测试能力卷(人教B版2019)(已下线)第二章 一元二次函数、方程和不等式-【优化数学】单元测试能力卷(人教A版2019)
名校
10 . 观察下面等式:
写出由这些等式归纳的一般规律,用数学归纳法证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f87442ef6f17afa1a30d51078e95411.png)
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2022-10-08更新
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426次组卷
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8卷引用:上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二上学期9月阶段数学试题
上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二上学期9月阶段数学试题(已下线)数学归纳法(已下线)第四章 数列(A卷·知识通关练) (4)(已下线)4.4 数学归纳法(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)(已下线)4.4 数学归纳法(2)1.5数学归纳法测试卷1.5 数学归纳法7种常见考法归类(1)(已下线)专题4.4 数学归纳法(2个考点四大题型)-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》(苏教版2019选择性必修第一册)