1 . 设数列满足，．
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）令，，证明：．

3 . 在数列中，且.
（1）求出，，；
（2）归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论.

4 . 已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝(n∈N^*)．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

5 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数∶
①；
②；
③；
④；
⑤．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式____，并证明你的结论．

6 . 一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．

7 . 设数列的前n项和为，且.
(1)计算，，，，并猜想；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.

8 . 设集合，对的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列并取出每个集合中的第2个数，记取出的所有数的和为．
（1）求的值；
（2）求证：为定值．

9 . 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列．例：，，，…．

（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；
（2）猜想，与的大小关系，并用数学归纳法证明．

10 . 已知，.
（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.