1 . 观察下列等式：

按照以上式子规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.（）

2 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

3 . (本小题满分分)将正整数作如下分组:，，，， ，，.分别计算各组包含的正整数的和

如下，                                ，

，

，

，

，

，

     (1)求的值；     (2)由,,,的值，试猜

测的结果，并用数学归纳法证明.

4 . 已知数列满足，.
（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.

5 . 已知数列满足且.
(1)计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法对你的结论进行证明．

6 . 已知， ．
（1）求 的值；
（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

7 . 观察以下3个等式：
,
，
，
(1)照以上式子规律，猜想第个等式（）；
(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立（）．

8 . .已知是数列的前项和，是否存在关于正整数的函数，使得对于大于1的正整数都成立？证明你的结论．

9 . 已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

10 . 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数．

（1）用表示；
（2）记，求证：当时，.