2021·全国·模拟预测
名校
1 . 2021年8月,在东京奥运会的某个项目上,有来自5个国家的选手甲、乙、丙、丁、戊参加这个项目的金牌争夺赛.赛前,小明一家人对金牌得主进行了预测,他们的观点如下:
①爸爸认为金牌得主不是乙,就是丁;
②妈妈认为金牌得主既不是丙,也不是丁;
③小明认为金牌得主不是甲,就是戊.
若比赛结束后,可以肯定三人中只有一个人的预测结果正确,则金牌的得主是( )
①爸爸认为金牌得主不是乙,就是丁;
②妈妈认为金牌得主既不是丙,也不是丁;
③小明认为金牌得主不是甲,就是戊.
若比赛结束后,可以肯定三人中只有一个人的预测结果正确,则金牌的得主是( )
A.甲 | B.乙 | C.丁 | D.戊 |
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2 . 已知一元三次方程
的三个根分别为
、
、
,请类比一元二次方程的韦达定理的证明,给出一元三次方程的根与系数的关系并且给出相应证明.
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解题方法
3 . 我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判断,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题.
(1)设
、
是椭圆
的两个焦点,点
、
到直线
的距离分别为
、
,试求
的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系;
(2)设
、
是椭圆
(
)的两个焦点,点
、
到直线
(m、n不同时为0)的距离分别为
、
,且直线L与椭圆M相切,试求
的值;
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明;
(4)将(3)中得出的结论类比到其他曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
(1)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5edf900c810371fb21297c15f86d8743.png)
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(2)设
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(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明;
(4)将(3)中得出的结论类比到其他曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
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4 . 已知n个球面每两个都相交于一圆,问这n个球面把空间分成多少个区域?
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5 . 巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,由欧拉在1735年解决.由于这个问题难倒了以前许多的数学家,欧拉一解出这个问题,马上就出名了,当时他28岁.这个问题是精确计算所有平方数倒数的和,也就是以下级数的和
.巴塞尔问题是寻找这个数的准确值,欧拉发现
的准确值是
.不过遗憾的是:若把上式中的指数
换成其他的数,例如
,则
的精确值为多少,至今未解决.下列说法正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88d3e556a769735b41dfdbb5c18f1e7d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d50d60bd6f7ed79d95117a0b881553fc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
A.所有正奇数的平方倒数和为![]() |
B.记![]() ![]() ![]() |
C.![]() ![]() |
D.记![]() ![]() ![]() ![]() |
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解题方法
6 . 已知
,
是椭圆
:
(
)上不同的两点,
为椭圆上异于
,
的点.
(1)证明:若
,
是椭圆
的左、右顶点,则
的斜率与
的斜率之积为定值;
(2)探讨若
,
为椭圆
上关于原点对称的两点,
仍为
上异于
,
的点,若
的斜率和
的斜率都存在,是否仍有(1)中的结论呢?请说明理由;
(3)类比椭圆中的结论,双曲线
:
(
,
)中是否具有类似(1)的结论,若有,写出该定值(不必证明);若没有,请简要说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a18722354086c42e62334983fc50eb6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd3b9e816b14051f785aa5aae72b8eed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d7aea48c44781a844b5c19191f70f61.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a18722354086c42e62334983fc50eb6a.png)
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(1)证明:若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/800c5e266b4ad8462a46970f0a232d52.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f46b053f98b1d05a2043e94eeaefea87.png)
(2)探讨若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/800c5e266b4ad8462a46970f0a232d52.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f46b053f98b1d05a2043e94eeaefea87.png)
(3)类比椭圆中的结论,双曲线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4c8a9c4957431681ddfc77895a88508.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/19f3fa0b40fb0d9b8c62e37316ab3b04.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67ca5fd57c2c2fcc3c7a574fdd1467d9.png)
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解题方法
7 . 开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体
中棱
,
,
两两垂直,那么称四面体
为直角四面体.请类比直角三角形
(
表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体
中的两个性质,并给出证明.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/17/2744873475547136/2748343588134912/STEM/165b547f6ead4a82b50c3e0c4fd0adc8.png?resizew=352)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e6e490f703eb6c9bb1278c78ebc2d661.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d004d2d115b477ade6af7ddb93db0df8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fd17a66a2af938c89e46f22e4d893b1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d674cc434aa1a626840c340c7dcdc96a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/6/17/2744873475547136/2748343588134912/STEM/165b547f6ead4a82b50c3e0c4fd0adc8.png?resizew=352)
直角三角形![]() | 直角四面体![]() | |
条件 | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
结论1 | ![]() | |
结论2 | ![]() |
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