1 . 求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值．
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2024高三·全国·专题练习
2 . 如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形
的高为
，O是
内任意一点， O到三边的距离分别为
，则
为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
，
则：
，即：
，
化简得，
，
（定值）．
若O是中心，则
，即：正三角形中心到各边的距离均为．
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别，则：
，即：，化简得，
，（定值）．若O是
中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为． 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
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3 . 在平面上，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，将该性质推广到空间，写出一个相应的真命题，并加以证明．
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2020高三·全国·专题练习
4 . 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：
＝
＋
，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
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5 . 如图1，已知
中，
，点
在斜边
上的射影为点
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）如图2，已知三棱锥
中，侧棱
，
，
两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中
与，，的关系，并证明.
中，，点在斜边上的射影为点.（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）如图2，已知三棱锥
中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.
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2018-07-10更新
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540次组卷
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5卷引用：【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题【全国百强校】湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2018-2019学年高二下学期优生联考数学试题河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）文科数学试题（已下线）2.1.1 合情推理-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）
6 . 如图所示，点为斜三棱柱
的侧棱
上一点，
交
于点
，
交
于点
．
（1）求证：
；
（2）在任意
中有余弦定理：
．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．（1）求证：
；（2）在任意
中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
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2016-12-04更新
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609次组卷
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6卷引用：2004 年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷）
2004 年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷）2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第九章 空间图形与简单几何体 三、多面体上海市闵行第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题沪教版(2020) 必修第三册 高效课堂 第十章 每周一练（2）（已下线）第五章 破解立体几何开放探究问题 专题一 立体几何存在性问题 微点1 立体几何存在性问题的解法【培优版】
7 . 从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为d1，d2，d3，且相应各边上的高分别为h1，h2，h3，求证：
+
+
=1．类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明．
++=1．类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明．
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，求证：
=1.类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明.
