1 . 类比性质“正三角形内一点
到各边的距离之和为定值”，在立体几何中可以得到什么结论？
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2 . 求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值．
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2024高三·全国·专题练习
3 . 如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形
的高为
，O是
内任意一点， O到三边的距离分别为
，则
为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
，
则：
，即：
，
化简得，
，
（定值）．
若O是中心，则
，即：正三角形中心到各边的距离均为．
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别，则：
，即：，化简得，
，（定值）．若O是
中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为． 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
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4 . 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系
中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程
．
(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点
，法向量为
的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（
）；（不需要说明理由）
(2)设
为空间中的两个定点，
，我们将曲面
定义为满足
的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．
中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程．(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点
，法向量为的平面的方程；②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（
）；（不需要说明理由）(2)设
为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．
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23-24高二上·上海·课后作业
5 . 在平面上有如下命题：“若点
为直线
外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数
、
满足
，且
．”类比此命题，给出空间某点在某一平面上的充要条件并加以证明．
为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、满足，且．”类比此命题，给出空间某点在某一平面上的充要条件并加以证明．
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名校
解题方法
6 . 已知任意三角形的三边长分别为
，内切圆半径为
，则此三角形的面积可表示为
.其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的
，三个小三角形面积相加即得
.请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题.
(1)已知四面体四个面的面积分别为
，
，
，
，内切球的半径为
，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论；
(2)应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体）
，三条侧棱
，
，
两两垂直，且
，求此三棱锥的内切球半径.
，内切圆半径为，则此三角形的面积可表示为.其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的，三个小三角形面积相加即得.请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题. (1)已知四面体四个面的面积分别为
，，，，内切球的半径为，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论；(2)应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体）
，三条侧棱，，两两垂直，且，求此三棱锥的内切球半径.
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名校
解题方法
7 . 如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到
．
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；
(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．
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解题方法
8 . 我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．如点
在直线l上，
为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点
满足：
，化简可得
，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面．
(1)若在空间直角坐标系中，
，请利用平面
的法向量求出平面的方程；
(2)试写出平面
（A，B，C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点
到平面
的距离为
．
在直线l上，为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足：，化简可得，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面．(1)若在空间直角坐标系中，
，请利用平面的法向量求出平面的方程；(2)试写出平面
（A，B，C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点到平面的距离为．
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名校
9 . 如图，在平面几何里有射影定理：设的两边
，
是点
在
边上的射影，则
．拓展到空间，在四面体
中，
平面，点是在平面
内的射影，且在
内，类比平面三角形的射影定理，，
，
三者面积
，
，
之间有什么关系？请写出你得到的结论，并证明．
的两边，是点在边上的射影，则．拓展到空间，在四面体中，平面，点是在平面内的射影，且在内，类比平面三角形的射影定理，，，三者面积，，之间有什么关系？请写出你得到的结论，并证明．
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2022-06-30更新
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70次组卷
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2卷引用：江西省吉安市2021-2022学年高二下学期期末教学质量检测数学（文）试题
名校
10 . 在平面向量中有如下定理：已知非零向量
，
，若
，则
(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，
，若，则___
请在空格处填上你认为正确的结论
(2)若非零向量
，
，
，
且
，
①利用（1）的结论，求当
时，求
的值，
②利用（1）的结论，求当k为何值时，分别取到最大、最小值？
，，若，则(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，，若，则___请在空格处填上你认为正确的结论(2)若非零向量
，，，且，①利用（1）的结论，求当
时，求的值，②利用（1）的结论，求当k为何值时，
分别取到最大、最小值？
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