1 . 类比性质“正三角形内一点
到各边的距离之和为定值”，在立体几何中可以得到什么结论？
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2 . 求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值．
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解题方法
3 . 
中，
，作
，点
为垂足，
为
在
上的射影，
为
在上的射影，则有
成立．直角四面体
（即
）中，点
为点在平面
内的射影，
的面积分别为
，且在平面内的射影分别为
、
，其面积分别为
的面积记为
，类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体中可得到的正确结论为______ ．（写出一个正确结论即可）．
中，，作，点为垂足，为在上的射影，为在上的射影，则有成立．直角四面体（即）中，点为点在平面内的射影，的面积分别为，且在平面内的射影分别为、，其面积分别为的面积记为，类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体中可得到的正确结论为
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2024高三·全国·专题练习
4 . 如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为
，O是
内任意一点， O到三边的距离分别为
，则
为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
，
则：
，即：
，
化简得，
，
（定值）．
若O是中心，则
，即：正三角形中心到各边的距离均为．
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别，则：
，即：，化简得，
，（定值）．若O是
中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为． 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
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5 . 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系
中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程
．
(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点
，法向量为
的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（
）；（不需要说明理由）
(2)设
为空间中的两个定点，
，我们将曲面
定义为满足
的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．
中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程．(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点
，法向量为的平面的方程；②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（
）；（不需要说明理由）(2)设
为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．
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6 . 联想祖暅原理（夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等），请计算：由曲线
，
，直线
，
轴所围成的平面几何图形的面积等于__________ ．
，，直线，轴所围成的平面几何图形的面积等于
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解题方法
7 . 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数
，满足
且
”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是：______ .
为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是：
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名校
8 . 下面说法错误的是__________ .
①归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理；
②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；
③“所有
的倍数都是
的倍数，某数
是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理；
④在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.
①归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理；
②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；
③“所有
的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理；④在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.
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23-24高二上·上海·课后作业
9 . 在平面上有如下命题：“若点为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数
、
满足
，且
．”类比此命题，给出空间某点在某一平面上的充要条件并加以证明．
为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、满足，且．”类比此命题，给出空间某点在某一平面上的充要条件并加以证明．
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名校
解题方法
10 . 已知任意三角形的三边长分别为
，内切圆半径为
，则此三角形的面积可表示为
.其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的
，三个小三角形面积相加即得
.请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题.
(1)已知四面体四个面的面积分别为
，
，
，
，内切球的半径为
，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论；
(2)应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体），三条侧棱
，
，
两两垂直，且
，求此三棱锥的内切球半径.
，内切圆半径为，则此三角形的面积可表示为.其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的，三个小三角形面积相加即得.请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题. (1)已知四面体四个面的面积分别为
，，，，内切球的半径为，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论；(2)应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体）
，三条侧棱，，两两垂直，且，求此三棱锥的内切球半径.
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