1 . 类比性质“正三角形内一点到各边的距离之和为定值”,在立体几何中可以得到什么结论?
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2 . 在平面几何中,你学习了直线与圆的位置关系,那么如何刻画平面与球的位置关系?能得到哪些结果?
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解题方法
3 . 我们知道,在平面中,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如点在直线l上,为直线l的一个方向向量,则直线l上任意一点满足:,化简可得,即为直线l的方程.类似地,在空间中,给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
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名校
4 . 在平面直角坐标系内,我们知道ax+by+c=0(a、b不全为0)是直线的一般式方程.而在空间直角坐标系内,我们称ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0)为平面的一般式方程 .
(1)求由点,,确定的平面的一般式方程;
(2)证明:为平面ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0)的一个法向量;
(3)若平面的一般式方程为ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0),为平面外一点,求点P到平面的距离.
(1)求由点,,确定的平面的一般式方程;
(2)证明:为平面ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0)的一个法向量;
(3)若平面的一般式方程为ax+by+cz+d=0(a、b、c不全为0),为平面外一点,求点P到平面的距离.
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20-21高一·全国·课后作业
5 . 类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似,推出它们在其他方面的相同或相似的一种推理方法.由于类比推理所得结论的真实性并不可靠,因此它不能作为严格的数学推理方法,但它是提出新问题和获得新发现的源泉.平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的,因此,在二者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法.为了对二者进行类比,可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系:
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
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6 . 已知n个球面每两个都相交于一圆,问这n个球面把空间分成多少个区域?
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解题方法
7 . 开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体中棱,,两两垂直,那么称四面体为直角四面体.请类比直角三角形(表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体中的两个性质,并给出证明.
直角三角形 | 直角四面体 | |
条件 | ,, | |
结论1 | ||
结论2 |
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8 . 如图一,在平面几何中,有如下命题“正三角形的高为h,O是内任意一点,则O到三边的距离的和为定值h,当O是的中心时,O到各边的距离均为”.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
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