1 . （1）已知
，求证：
．
（2）已知
，求证：
．
，求证：．（2）已知
，求证：．
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名校
2 . 把1，2，…，10按任意次序排成一个圆圈.
(1)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
(2)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15.
(1)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
(2)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15.
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名校
3 . 已知集合
，且集合
具有以下性质：
①中的元素有正整数，也有负整数；
②中的元素有奇数，也有偶数；
③若
，则
；
④
.
回答下列问题.
(1)若
，求证：
；
(2)判断集合是有限集还是无限集，并说明理由；
(3)判断0和2与集合的关系，并说明理由.
，且集合具有以下性质：①
中的元素有正整数，也有负整数；②
中的元素有奇数，也有偶数；③若
，则；④
.回答下列问题.
(1)若
，求证：；(2)判断集合
是有限集还是无限集，并说明理由；(3)判断0和2与集合
的关系，并说明理由.
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2022-12-03更新
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138次组卷
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2卷引用：北京市广渠门中学2022-2023学年高一上学期期中质量检测数学试题
名校
4 . 已知
∈（0，+∞），
若
求证：中至少有一个数不大于1.
∈（0，+∞），若求证：中至少有一个数不大于1.
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5 . 已知有限数列A：
，
，…，
（
且
）各项均为整数，且满足
对任意
，3，…，N成立．记
．
(1)若
，
，求
能取到的最大值；
(2)若
，求证：
；
(3)若
（这里
是数列的项数），求证：数列A中存在
使得
．
，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．(1)若
，，求能取到的最大值；(2)若
，求证：；(3)若
（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．
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名校
6 . 某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于 |
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于 |
C．公司最大的股东所持股份不超过 |
D．公司最大的股东所持股份可以超过但不超过 |
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7 . 设n为正整数
，若
满足：①
；②对于
，均有
，则称
具有性质
．对于和
，定义集合
．
(1)已知
，判断和
是否具有性质
（直接写出结果）；
(2)设
，且具有性质
，写出一个及相应的
；
(3)设和具有性质
，那么是否可能为
？若可能，写出一组和；若不可能，说明理由．
，若满足：①；②对于，均有，则称具有性质．对于和，定义集合．(1)已知
，判断和是否具有性质（直接写出结果）；(2)设
，且具有性质，写出一个及相应的；(3)设
和具有性质，那么是否可能为？若可能，写出一组和；若不可能，说明理由．
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名校
8 . 给定无理数
．若正整数
，
，
，
满足
．
(1)试比较三数
，
，
的大小；
(2)证明存在两组不完全相同的正整数a，b，c，d满足且
；
(3)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立
①
②
③
．若正整数，，，满足．(1)试比较三数
，，的大小；(2)证明存在两组不完全相同的正整数a，b，c，d满足
且；(3)若
，证明下面三个不等式中至少有一个不成立①
② ③
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2022-11-14更新
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309次组卷
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3卷引用：上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
9 . 已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数
，使得
对一切
恒成立．例如“
，
”
(1)求
；
(2)求证：当n为偶数时，不存在函数
使得
对一切恒成立；
(3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数
使得
对一切恒成立，并求其最高次项系数．
，使得对一切恒成立．例如“，”(1)求
；(2)求证：当n为偶数时，不存在函数
使得对一切恒成立；(3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数
使得对一切恒成立，并求其最高次项系数．
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10 . 证朋：
(1)设a，b，
，则
的充要条件是
．
(2)已知x是有理数，y是无理数，则
是无理数．
(1)设a，b，
，则的充要条件是．(2)已知x是有理数，y是无理数，则
是无理数．
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